Propiedad de una función, operador o conjunto según la cual sus valores o elementos tienen norma uniformemente finita: un conjunto S en un espacio normado es acotado si sup_{x∈S}‖x‖<∞; una función f es acotada si sup_{x en el dominio}‖f(x)‖<∞.

Principio

La idea organizadora es el control del tamaño por una cota superior finita: la acotación sustituye el crecimiento arbitrario por un supremo global finito, permitiendo estimaciones uniformes y argumentos de compacidad en contextos de dimensión finita.

Demostración

Escenarios ilustrativos: el intervalo [−1,1]⊂R es acotado porque sup|x|=1. La función sin: R→R es acotada ya que |sin x|≤1 para todo x. En un espacio de Banach, un operador lineal acotado manda conjuntos acotados a conjuntos acotados.

Aplicación incorrecta

Confundir acotación con compacidad, completitud o integrabilidad. Por ejemplo, tratar todo subconjunto infinito acotado como si tuviera puntos de acumulación (falso en espacios de dimensión infinita) o asumir que la acotación implica continuidad de un operador sin hipótesis adicionales.

Consecuencia

La acotación permite estimaciones uniformes, asegura que las imágenes bajo operadores lineales acotados permanezcan acotadas y es condición previa para muchos teoremas (p. ej. principio de acotación uniforme de Banach–Steinhaus). En dimensión finita, los conjuntos acotados y cerrados son compactos, lo que permite conclusiones más fuertes.

Inversión

Lo opuesto es la no acotación: ausencia de cualquier cota uniforme finita, ejemplificada por sucesiones cuyas normas tienden a infinito o funciones con crecimiento sin límite como f(x)=x en R.

Límite

Noción ligada a la norma o métrica ambiente; la acotación depende de la norma elegida (normas equivalentes en dimensión finita producen los mismos conjuntos acotados). No implica por sí misma otras propiedades (compacidad, cerradura, integrabilidad) salvo que exista estructura adicional.

Tensión semántica

Hay tensión con nociones como acotación relativa, acotación local o acotación puntual vs uniforme para familias de funciones: capturan distintas fortalezas de la misma idea informal y no son intercambiables.

Síntesis

La acotación es la exigencia cuantitativa simple de que ningún elemento o valor supere un tamaño finito fijo en la norma elegida, sirviendo como hipótesis básica de control en el análisis.