Un método asintótico para estimar integrales con fases muy oscilatorias de la forma ∫ A(x) e^{iλ φ(x)} dx para parámetro grande λ, centrado en las contribuciones de puntos donde la derivada de la fase φ'(x) se anula (puntos estacionarios).

Principio

Las contribuciones dominantes a una integral oscilatoria al aumentar la frecuencia proceden de vecindarios de puntos estacionarios de la fase; en otras regiones la oscilación rápida produce cancelación. Aproximaciones cuadráticas locales de φ cerca de los puntos estacionarios dan los términos asintóticos principales.

Demostración

Estimar I(λ)=∫_{−1}^1 e^{iλ x^2} dx para λ grande localizando el punto estacionario x=0, aproximando φ(x)=x^2 y aplicando la asintótica de la integral gaussiana para obtener I(λ) ~ e^{iπ/4} √(π/λ) como comportamiento principal.

Aplicación incorrecta

Aplicar la fórmula de fase estacionaria cuando los puntos estacionarios son degenerados (anulación de orden superior), cuando la amplitud A tiene singularidades en el punto estacionario, o ignorar contribuciones de los extremos en intervalos finitos conduce a asintóticas incorrectas.

Consecuencia

Proporciona desarrollos asintóticos explícitos de orden principal para integrales oscilatorias, aclara el comportamiento gobernado por la fase en propagación de ondas y problemas espectrales, y ofrece aproximaciones eficientes en regímenes de alta frecuencia.

Inversión

En lugar de aislar vecindarios de fase estacionaria, uno podría promediar o muestrear numéricamente el integrando globalmente; esta inversión pierde la estructura asintótica analítica y suele perder precisión cuando λ→∞.

Límite

Requiere fase y amplitud lisas, puntos estacionarios aislados no degenerados o degeneralidades tratadas de forma explícita, y control de los extremos; falla o necesita modificación para φ no lisa, conjuntos estacionarios densos o coalescencia de saddles.

Tensión semántica

Estrechamente relacionado con el método de la pendiente más pronunciada y las asintóticas de transformadas de Fourier: la fase estacionaria enfatiza puntos estacionarios reales y cancelación oscilatoria, mientras que la pendiente más pronunciada suele emplear deformación compleja de contornos para capturar contribuciones equivalentes.

Síntesis

El método de fase estacionaria aísla puntos estacionarios de la fase y aproxima localmente el integrando para convertir la oscilación rápida en términos principales tipo gaussiano calculables, produciendo desarrollos asintóticos fiables para parámetros de alta frecuencia.