Una sucesión (o red) de funciones f_n converge puntualmente a f en un dominio D si para cada x∈D la sucesión de escalares f_n(x) converge a f(x); la convergencia se verifica en cada punto de forma independiente.

Principio

Principio de evaluación local: la convergencia se determina por el comportamiento en puntos individuales sin exigir uniformidad en todo el dominio; distintos puntos pueden converger a ritmos distintos o en diferentes valores límite dentro de la misma familia.

Demostración

Ejemplo: en [0,1], f_n(x)=x^n converge puntualmente a la función f con f(x)=0 para 0≤x<1 y f(1)=1; para cada x fijo menor que 1, f_n(x)→0, mientras que en x=1 tiende a 1.

Aplicación incorrecta

Intercambiar límite e integral o derivada confiando solo en convergencia puntual; asumir que la continuidad, integrabilidad o propiedades uniformes se mantienen en el límite sin hipótesis adicionales.

Consecuencia

La convergencia puntual define una función límite pero no garantiza la preservación de continuidad, convergencia uniforme o integrabilidad; suele ser suficiente para operaciones punto por punto pero es débil respecto a propiedades globales.

Inversión

La convergencia uniforme es una versión reforzada que exige un único control de la diferencia: sup_x|f_n(x)-f(x)|→0; la convergencia puntual puede darse sin control uniforme alguno.

Límite

Depende del conjunto índice y de la topología del dominio; la convergencia puntual ignora excepciones sobre conjuntos de medida cero salvo que se considere convergencia casi everywhere, y no aporta información sobre velocidades de convergencia.

Tensión semántica

Se contrapone a la convergencia casi en todas partes (teoría de la medida) y a la convergencia uniforme (análisis clásico); la tensión aparece al decidir qué tipo de convergencia permite intercambiar límites u operaciones.

Síntesis

La convergencia puntual captura la forma más básica de convergencia de funciones: el comportamiento límite en cada punto por separado, una noción elemental que debe reforzarse cuando se desean conservar propiedades analíticas globales.