Un espacio vectorial provisto de un producto interior que es completo para la métrica inducida por dicho producto interior; en otras palabras, un espacio de producto interior completo donde el producto interior induce la norma y la topología.

Principio

El producto interior impone estructura geométrica (ángulos, ortogonalidad, normas) y la completitud asegura que las sucesiones de Cauchy converjan dentro del espacio; en conjunto permiten expansiones ortonormales y argumentos por proyección.

Demostración

Ejemplos: R^n con el producto escalar usual, ℓ^2 (sucesiones sumables al cuadrado) y espacios L^2(μ) de funciones cuadrado-integrables con el producto interior L^2; en cada caso las sucesiones de Cauchy respecto de la norma inducida convergen en el espacio.

Aplicación incorrecta

Llamar espacio de Hilbert a un espacio con producto interior que no es completo (pre-Hilbert), o confundir cualquier espacio de Banach con un espacio de Hilbert cuando la norma no proviene de un producto interior.

Consecuencia

Los espacios de Hilbert admiten bases ortonormales (posiblemente no numerables), el teorema de proyección, el teorema de representación de Riesz para funcionales lineales continuos y una rica teoría espectral para operadores auto-adjuntos acotados.

Inversión

Un espacio de Banach sin estructura de producto interior (o con una norma que no proviene de un producto interior) carece de la ortogonalidad geométrica y de la identidad del paralelogramo que caracterizan a los espacios de Hilbert.

Límite

Requiere un producto interior definido positivo y completitud; los espacios de dimensión finita son siempre espacios de Hilbert, pero los espacios con producto interior de dimensión infinita pueden fallar en ser completos y, por tanto, no ser Hilbert sin completación.

Tensión semántica

A menudo se contrasta con espacios de Banach (espacios normados completos) y con espacios pre-Hilbert; la tensión surge cuando propiedades como ortogonalidad o proyecciones requieren el producto interior más que una mera norma.

Síntesis

Un espacio de Hilbert une álgebra lineal y completitud métrica mediante un producto interior: es el marco completo en el que ángulos, descomposiciones ortogonales y análisis espectral se formulan con rigor y amplia aplicabilidad.