Una colección Σ de subconjuntos de un conjunto X que está cerrada por complemento y por uniones contables (equivalente: intersecciones contables), y que contiene el conjunto vacío; es el dominio sobre el que se definen medidas.

Principio

Las σ‑álgebras identifican la familia de conjuntos «medibles» exigiendo estabilidad frente a las operaciones necesarias para la aditividad contable y las operaciones límite: complementos, uniones e intersecciones contables y la inclusión del vacío.

Demostración

La σ‑álgebra de Borel en un espacio topológico es la σ‑álgebra generada por los abiertos y se usa para definir medidas de Borel. La σ‑álgebra trivial {∅, X} y la potencia 2^X (cuando se usa) son ejemplos básicos; la σ‑álgebra generada por una partición o por puntos singulares produce medidas de conteo o estructuras discretas.

Aplicación incorrecta

Suponer que un álgebra (cerrada solo por uniones finitas) o un anillo de conjuntos basta para todos los argumentos que requieren operaciones contables; pensar que la σ‑álgebra de Borel coincide con la σ‑álgebra de Lebesgue en R sin distinguir la completación por conjuntos nulos.

Consecuencia

Dada una σ‑álgebra se pueden definir funciones medibles, variables aleatorias y medidas; determina qué límites de conjuntos y funciones permanecen mensurables y qué operaciones son admisibles en integración y probabilidad.

Inversión

Una colección cerrada solo por uniones o intersecciones finitas (un álgebra o anillo) carece de cierre frente a operaciones contables y por tanto no puede sostener medidas contablemente aditivas sin una extensión o completación adicional.

Límite

Una σ‑álgebra es una estructura puramente conjuntos independiente de la topología, aunque suele generarse a partir de familias topológicas. No especifica por sí misma una medida, y distintas σ‑álgebras en el mismo conjunto conducen a nociones distintas de medibilidad.

Tensión semántica

Tensión entre σ‑álgebras generadas por la topología (Borel) y aquellas completadas por una medida (Lebesgue): estas últimas difieren por conjuntos nulos y afectan qué funciones son integrables o consideradas mensurables.

Síntesis

Sigma‑Álgebra = una familia de conjuntos cerrada por complementos y uniones contables que fija qué subconjuntos son medibles, formando el andamiaje algebraico mínimo sobre el que se definen medidas contablemente aditivas y funciones medibles.