Ley de compatibilidad entre dos operaciones binarias · y + en un conjunto que establece que a·(b + c) = a·b + a·c y (b + c)·a = b·a + c·a para todos los elementos, de modo que una operación se distribuye sobre la otra.

Principio

Compatibilidad entre composición y combinación: una operación actúa linealmente sobre la estructura formada por la otra, permitiendo la expansión y factorización de expresiones mixtas.

Demostración

En cualquier anillo la multiplicación se distribuye sobre la suma: 2·(3+4) = 2·7 = 14 y 2·3 + 2·4 = 6 + 8 = 14; de modo similar, la composición de aplicaciones lineales se distribuye sobre la suma de aplicaciones.

Aplicación incorrecta

Asumir distributividad entre operaciones arbitrarias (por ejemplo que la composición de funciones se distribuya sobre el producto de funciones) sin verificarlo conduce a expansiones incorrectas.

Consecuencia

La distributividad permite la expansión algebraica, la factorización y la definición de estructuras tipo anillo; es esencial para el cálculo con polinomios y para construir estructuras lineales.

Inversión

No distributividad: ausencia de una ley coherente de expansión entre las dos operaciones; algunos sistemas algebraicos son intencionadamente no distributivos para modelar otras interacciones (ciertos retículos o álgebras no asociativas).

Límite

Requiere dos operaciones especificadas y debe verificarse en todo el conjunto; la distributividad puede ser unidireccional (solo izquierda o solo derecha) y puede fallar en subconjuntos o elementos particulares.

Tensión semántica

La distributividad se distingue de la linealidad y de los homomorfismos: las aplicaciones lineales satisfacen una versión de distributividad sobre la suma escalar, pero la ley distributiva binaria se refiere a operaciones internas, no a una acción externa.

Síntesis

La ley distributiva vincula dos operaciones de modo que la acción de una se propaga sobre las combinaciones formadas por la otra, haciendo coherente la expansión y factorización y posibilitando estructuras algebraicas en capas como anillos y módulos.