Definición
El proceso de formar el subobjeto del objeto fuente compuesto por todos los elementos que un morfismo dado envía al elemento neutro (cero o identidad) del codominio; este subobjeto mide el fallo de inyectividad del morfismo y se caracteriza por una propiedad universal de igualador cuando existe.
Principio
Principio
Un núcleo es la preimagen del elemento neutro bajo un morfismo y es el morfismo universal que factoriza toda flecha enviada al neutro; los núcleos existen y se comportan de forma natural en categorías apuntadas con morfismos cero y proporcionan la noción categórica de «elementos aniquilados por un morfismo».
Demostración
Demostración
En teoría de grupos, para un homomorfismo f: G → H el núcleo es el subgrupo {g ∈ G | f(g) = e_H}; en álgebra lineal, para una aplicación lineal T: V → W el núcleo (espacio nulo) es {v ∈ V | T(v) = 0}, un subespacio cuya dimensión es la nulidad en el teorema rango–nulidad.
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Tratar el conjunto de elementos que se envían a la identidad como un núcleo sin comprobar que es un subobjeto en la categoría adecuada (por ejemplo, olvidar la normalidad en núcleos de grupos), o confundir la extracción del núcleo con tomar el conúcleo o la imagen, que miden otras fallas de invertibilidad.
Consecuencia
Consecuencia
La extracción correcta del núcleo identifica si un morfismo es monomorfo (núcleo trivial) y, combinada con las construcciones de imagen/conúcleo, conduce a los teoremas de isomorfismo; organiza sucesiones exactas y mide obstrucciones a la inyectividad.
Inversión
Inversión
La extracción del conúcleo es la operación dual: formar el cociente del codominio por la imagen de un morfismo mide el fallo de sobreyectividad en lugar del de inyectividad.
Límite
Límite
Definido únicamente cuando la categoría ambiente es apuntada y admite igualadores o morfismos cero; en categorías sin noción de cero o sin límites la construcción puede no existir o requerir modificación (por ejemplo, los núcleos en contextos no abelianos requieren estructura adicional como la normalidad).
Tensión semántica
Tensión semántica
La confusión suele originarse entre la preimagen en sentido de conjuntos y el núcleo categórico, que debe ser un subobjeto con propiedad universal; asimismo, ‘núcleo’ en teoría de anillos (ideal de elementos enviados a cero) conlleva requisitos de bidireccionalidad ausentes en otros contextos.
Síntesis
Síntesis
La extracción del núcleo aísla la obstrucción en la fuente a la inyectividad reuniendo todos los elementos enviados al neutro en un subobjeto igualador universal, produciendo así un invariante canónico útil en exactitud y teoremas de isomorfismo.