Die aussage in der Mengentheorie, dass es keine Kardinalzahl strikt zwischen der Kardinalität der natürlichen Zahlen ℵ0 und der Kardinalität der reellen Zahlen 2^{ℵ0} gibt (äquivalent dazu, in der konventionellen Formulierung 2^{ℵ0} = ℵ1), also eine spezifische Größe für das Kontinuum behauptet.

Prinzip

Die Anordnung unendlicher Kardinalzahlen unmittelbar oberhalb des abzählbaren Unendlichen festlegen, indem man Zwischenstufen zwischen ℵ0 und dem Kontinuum verneint und so eine minimale Nachfolger-Kardinalität für die Potenzmenge der natürlichen Zahlen postuliert.

Demonstration

In Modellen der Mengentheorie, die CH erfüllen, gilt etwa, dass jede überabzählbare Teilmenge der reellen Linie die Kardinalität des Kontinuums hat; mittels Forcing lassen sich dagegen Modelle konstruieren, in denen Zwischenkardinalitäten existieren, was die Unabhängigkeit von CH gegenüber ZFC demonstriert.

Fehlanwendung

CH als Theorem von ZFC anzunehmen, wenn man Objekte konstruiert oder Aussagen beweist, ohne die Axiome anzugeben, oder Konsequenzen von CH in topologischen oder maßtheoretischen Argumenten zu verwenden, ohne zu prüfen, ob das betrachtete Modell CH annimmt oder ablehnt.

Konsequenz

Die Annahme von CH oder ihrer Negation verändert die Landschaft möglicher kombinatorischer und topologischer Konstruktionen (beeinflusst z. B. das Vorhandensein bestimmter pathologischer Räume, kardinale Invarianten des Kontinuums und kombinatorische Aussagen), und viele natürliche Fragen bleiben in ZFC unentscheidbar.

Umkehrung

Die Negation von CH behauptet die Existenz mindestens einer Kardinalzahl strikt zwischen ℵ0 und 2^{ℵ0}, eröffnet somit die Möglichkeit zahlreicher Zwischenkardinalitäten und verändert die mengentheoretischen und topologischen Konsequenzen bezogen auf die Größe des Kontinuums.

Abgrenzung

CH ist eine rein ZFC‑Ebene‑Aussage zur Kardinalarithmetik und entscheidet nicht allein feinere maß‑ oder topologierelevante Regularitätseigenschaften; ihr Status ist die Unabhängigkeit von ZFC, also weder beweisbar noch widerlegbar aus den Axiomen von ZFC allein.

Semantische Spannung

Semantische Spannung besteht zwischen CH und stärkeren Hypothesen wie der Generalized Continuum Hypothesis (GCH) und zwischen der Auffassung, kardinale Gleichheiten seien kanonisch, und der Auffassung, sie seien modellabhängige Artefakte; diese Spannung zeigt sich in Topologie, Kombinatorik und Modelltheorie.

Synthese

Die Kontinuumshypothese postuliert eine spezifische minimale Größe für das Kontinuum, indem sie behauptet, dass keine Kardinalität zwischen ℵ0 und 2^{ℵ0} existiert; da CH unabhängig von ZFC ist, kann sie als zusätzliches Axiom gewählt oder verworfen werden, was zu unterschiedlichen, widerspruchsfreien Versionen der Mengenlehre führt.