Satz, der besagt, dass neun Punkte eines Dreiecks auf einem Kreis liegen: die Mittelpunkte der drei Seiten, die Füße der drei Höhen und die Mittelpunkte der Strecken vom Orthozentrum zu den Ecken. Dieser Kreis heißt Neun-Punkte-Kreis; sein Zentrum N ist der Mittelpunkt der Strecke Orthozentrum–Umkreiszentrum und sein Radius ist die Hälfte des Umkreisradius.

Prinzip

Ordnungssatz zur Dreieckstruktur: Bestimmte natürliche Mittelpunkt- und Fuß-Konstruktionen liegen auf einem Kreis, dessen Zentrum und Radius einfach mit klassischen Zentren (Umkreiszentrum, Orthozentrum) verknüpft sind und so Symmetrien und Skalierungsrelationen im Dreieck offenbaren.

Demonstration

Im Dreieck ABC mit Umkreiszentrum O und Orthozentrum H sind der Mittelpunkt von AH, der Mittelpunkt von BC und der Fuß der Höhe aus A drei der neun Punkte; klassische Kongruenzen oder Ähnlichkeitsargumente zeigen, dass diese Punkte und die entsprechenden für B und C einen gemeinsamen Kreis bilden. Algebraisch ergibt sich N = (H+O)/2 und Radius = R/2, wenn R der Umkreisradius ist.

Fehlanwendung

Anzunehmen, der Neun-Punkte-Kreis passe durch die ursprünglichen Eckpunkte oder ihn mit dem Umkreis gleichzusetzen; oder die euklidische Neun-Punkte-Konstruktion in einer nicht-euklidischen Ebene anzuwenden, ohne Abstände und Senkrechtigkeitsbegriffe anzupassen.

Konsequenz

Ermöglicht viele abgeleitete Gleichheiten und Vereinfachungen: Mittelpunkte und Fußpunkte sind konkyclisch, die Lage von N erleichtert Konstruktionen, und Beziehungen wie Radius = R/2 erlauben die Übertragung von Umkreis-Informationen auf den Neun-Punkte-Kreis für weitere metrische Folgerungen.

Umkehrung

Die Umkehrung—dass Punkte auf dem Neun-Punkte-Kreis notwendigerweise Mittelpunkte oder Höhenfüße sein müssen—ist nicht automatisch ohne Prüfung der Dreiecksbeziehungen. Ein Gegenstück ist der Umkreis, der durch die Eckpunkte statt durch die neun speziellen Punkte verläuft.

Abgrenzung

Gilt in der euklidischen Ebene für nichtdegenerierte Dreiecke; bei degenerierten Dreiecken (kollineare Eckpunkte) entfällt die senkrechte Konstruktion und die Bedeutung des Umkreisradius. Der Satz setzt die üblichen euklidischen Definitionen von Mittelpunkt und Höhenfuß voraus.

Semantische Spannung

Spannung zwischen dem Neun-Punkte-Kreis und dem Umkreis oder Inkreis: Jeder Kreis wählt eine andere kanonische Punktmenge (Mittelpunkte/Füße vs. Ecken vs. Berührungspunkte) und führt zu unterschiedlichen invarianten Eigenschaften und Anwendungen.

Synthese

Der Neun-Punkte-Kreis fasst Mittelpunkt- und Höhenfußkonstruktionen zu einem einzigen kreisförmigen Ort zusammen: neun kanonische, leicht zu konstruierende Punkte sind konkyclisch, und Zentrum sowie Radius sind einfache lineare bzw. Skalierungsfunktionen des Umkreiszentrums und Umkreisradius, was kompakte metrische und synthetische Folgerungen ermöglicht.