Die Untersuchung von Singularitäten von Distributionen und PDE‑Lösungen auf der kombinierten Ort–Frequenz‑Ebene (Phasenraum) mithilfe von Werkzeugen wie Wellenfrontmenge, pseudodifferentiellen und Fourier‑Integral‑Operatoren sowie symplektischer Geometrie, um zu verfolgen, wie Singularitäten propagieren und wechselwirken.

Prinzip

Gleichzeitige Orts‑ und Frequenzlokalisierung: Singularitäten werden durch Ort und Kotangentialrichtungen (Wellenfrontmenge) beschrieben, und ihre Ausbreitung unter linearen PDE folgt dem Bicharakteristikfluss im Phasenraum, der durch das Hauptsymbol bestimmt wird; mikrolokale Elliptizität gibt lokale Regularität im Phasenraum.

Demonstration

Bei der Wellengleichung auf einer glatten Mannigfaltigkeit propagieren die Singularitäten der Anfangsdaten entlang der null‑Bicharakteristiken; mit einem pseudodifferentiellen Parametrix kontrolliert man die Wellenfrontmenge und beweist endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit sowie Reflexions/Transmissionsgesetze an glatten Grenzflächen.

Fehlanwendung

Sich nur auf punktweise Fourier‑Transformationen oder rein räumliche Lokalisation zu verlassen und richtungsabhängige Frequenzinformationen zu ignorieren; oder die pseudodifferenzielle Rechnung heuristisch zu verwenden, ohne Symbolklassen und mikrolokale Elliptizität zu prüfen, was zu falschen Folgerungen über die Propagation führt.

Konsequenz

Ergibt scharfe Regularitäts‑ und Propagationssätze, ermöglicht Parametrixkonstruktionen, klärt Streuungs‑ und Beugungsphänomene und verbindet PDE‑Verhalten mit symplektischen/topologischen Invarianten, die in Indextheorie und Quanten‑/Klassik‑Korrespondenzen genutzt werden.

Umkehrung

Reine lokale (physikalischer Raum) Analyse, die Frequenzinhalt ignoriert, kann richtungsbezogene Singularitäten oder Propagation entlang von Bicharakteristiken nicht auflösen; globale harmonische Analyse erfasst Frequenz, verliert aber die nötige räumliche Lokalisation für Rand-/Schnittstellenphänomene.

Abgrenzung

Gilt vornehmlich für lineare PDE, Distributionen und lineare Operatoren mit Symbolrechnung (Pseudodifferential/FIO‑Rahmen); ist weniger unmittelbar auf vollständig nichtlineare PDE ohne Linearisierung oder auf rein probabilistische Modelle ohne Phasenraumdarstellung anwendbar.

Semantische Spannung

Überlappt mit Harmonischer Analyse und geometrischer Optik: Harmonische Analyse betont globale Frequenzzerlegungen, geometrische Optik Hochfrequenzasymptotik; mikrolokale Analyse unterscheidet sich durch die Kombination lokaler Position und richtungsgebundener Frequenz zur Auflösung singulärer Strukturen.

Synthese

Mikrolokale Analyse ist die Phasenraumrechnung, die beschreibt, wo und in welchen Richtungen Lösungen nicht glatt sind, und mithilfe von Symbolmethoden und symplektischer Dynamik die Propagation, Wechselwirkung und Eliminierung von Singularitäten vorhersagt und kontrolliert.