Ein Strukturtheorem für endlichdimensionale assoziative Algebren, das besagt, dass A unter einer Zerlegungsvoraussetzung als semidirekte (oder Vektorraum-)Summe A = S ⊕ R zerlegt werden kann, wobei R der Jacobson-Radikal ist und S eine halbeinfachte Unteralgebra ist, die mit dem halbeinfachen Quotienten A/R isomorph ist; die Zerlegung liefert ein halbeinfaches Komplement zum Radikal, wenn ein solches Splitting existiert.

Prinzip

Endlichdimensionale assoziative Algebren über Körpern mit geeigneten Separabilitäts- oder Splittingvoraussetzungen besitzen ein Komplement zum Radikal: der halbeinfache Quotient lässt sich in eine echte halbeinfache Unteralgebra von A aufheben, womit die kurze exakte Sequenz 0 → R → A → A/R → 0 auf Algebraebene (bis auf Innere Automorphismen) gesplittet wird.

Demonstration

Für die Algebra der oberen Dreiecksmatrizen n×n über einem Körper ist das Radikal R die strikt oberen Dreiecksmatrizen und ein halbeinfaches Komplement S sind die Diagonalmatrizen; A = S ⊕ R realisiert die Wedderburn–Malcev-Zerlegung anschaulich.

Fehlanwendung

Anzunehmen, die Zerlegung sei kanonisch oder existiere ohne Prüfung der Separabilitäts-/Splittingbedingungen; die Einzigartigkeit des halbeinfachen Komplements zu behaupten (sie ist im Allgemeinen nicht eindeutig und nur bis auf innere Konjugation bestimmt) oder die Aussage auf unendlichdimensionale Algebren zu übertragen, führt zu Fehlern.

Konsequenz

Ermöglicht die Reduktion von Klassifikations- und Darstellungstheoriefragen auf den halbeinfachen Anteil und die Wirkung der halbeinfachen Unteralgebra auf das Radikal, so dass man Moduln durch Einschränkung auf S und durch Analyse der Extensionsdaten in R studieren kann.

Umkehrung

Existiert kein halbeinfaches Komplement, lässt sich die Algebra nicht als S ⊕ R schreiben; dies weist auf ein nicht gesplittetes oder nicht separables Verhalten des Quotienten und auf kompliziertere Extensionsdaten hin.

Abgrenzung

Gilt für endlichdimensionale assoziative Algebren über Körpern, die die nötigen Splitting-/Separabilitätsbedingungen erfüllen (z. B. über perfekten Körpern oder in Charakteristik null, wenn der halbeinfache Quotient separabel ist); ausgenommen sind viele unendlichdimensionale Algebren, nichtassoziative Strukturen und Fälle, in denen der halbeinfache Quotient nicht in A aufgeht.

Semantische Spannung

Bezieht sich auf den Wedderburn–Artin-Satz (Klassifikation halbeinfacher Algebren) und auf die Levi-Zerlegung in Lie-Theorie; die Spannung entsteht dadurch, dass Wedderburn–Malcev ein internes Splitting liefert, wenn möglich, aber keine Eindeutigkeit garantiert, weshalb strukturelle Beschreibungen nicht-kanonische Wahlmöglichkeiten behandeln müssen.

Synthese

Die Wedderburn–Malcev-Zerlegung ist das assoziative Analogon einer Levi-Spaltung: wenn sich der halbeinfache Quotient einer endlichdimensionalen Algebra hebt, erhält man eine interne halbeinfache Unteralgebra, die das Radikal ergänzt und so halbeinfache und nilpotente Anteile für Struktur- und Darstellungstheorie trennt.