Ein Klassifikationssatz, der besagt, dass jeder semisimple artinische Ring (äquivalent zu jeder endlichdimensionalen semisimplen Algebra über einem Körper) isomorph zu einem endlichen direkten Produkt von Matrizenalgebren über Schiefkörpern ist; insbesondere sind einfache artinische Ringe Matrizenalgebren über Schiefkörpern.

Prinzip

Das ordnende Prinzip ist, dass Semisimplizität eine Zerlegung in einfache Komponenten erzwingt, und jede einfache Komponente die Form End_D(V) ≅ M_n(D) für einen Schiefkörper D und einen endlichdimensionalen Vektorraum V über D hat; zentrale Idempotente trennen die Faktoren.

Demonstration

Illustration: Die Gruppenalgebra C[G] einer endlichen Gruppe über den komplexen Zahlen zerfällt (nach Maschke) in ein endliches Produkt vollständiger Matrizenalgebren über C, je eine Matrizenalgebra pro irreduzibler komplexer Darstellung, was die explizite Blockzerlegung in der Darstellungstheorie liefert.

Fehlanwendung

Den Satz auf nicht-artinische oder nicht-semisimple Ringe anzuwenden (z. B. unendlich-dimensionale Algebren mit nichttrivialem Jacobson-Radikal) und eine Matrizenprodukt-Zerlegung zu erwarten; damit werden Radikale, topologische Komplettierungen oder subtile Aspekte unendlicher direkter Produkte übersehen.

Konsequenz

Der Satz liefert eine vollständige Strukturbeschreibung semisimpler Algebren: Klassifikation einfacher Moduln, Identifikation der Zentren mittels Blockzerlegung, explizite Morita-Äquivalenzen und Reduktion von Darstellungstheoriefragen auf lineare Algebra über Schiefkörpern.

Umkehrung

Ist ein Ring nicht semisimpel oder nicht artinisch, so versagt die Artin–Wedderburn-Folge: Es kann ein nichttriviales Jacobson-Radikal existieren, es gibt indekomposable Moduln jenseits der Matrixblöcke und keine endliche Zerlegung in Matrizenalgebren.

Abgrenzung

Gilt für semisimple artinische Ringe und endlich-dimensionale semisimple Algebren über Körpern; nicht anwendbar in der Regel auf unendlich-dimensionale Ringe, Ringe mit nichttrivialem Radikal oder Algebren über Nicht-Körpern ohne Finitheitsbedingungen, sofern nicht angepasst.

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen den Begriffen 'einfach' und 'semisimple' und zwischen Aussagen für endlich-dimensionale Algebren und deren unendlichen oder topologischen Analogien; eine nahe Verwechslungsgefahr ist mit Wedderburns kleinem Satz über endliche Schiefkörper, der eine andere Aussage ist.

Synthese

Artin–Wedderburn identifiziert semisimple artinische Ringe mit endlichen Produkten von Matrizenalgebren über Schiefkörpern, wodurch strukturelle und darstellungstheoretische Fragen auf lineare Algebra über diesen Schiefkörpern reduziert werden und zentrale Idempotente die Algebra in Blöcke partitionieren.