Satz der Zahlentheorie: Für ganze Zahlen a und n mit gcd(a,n)=1 gilt a^{φ(n)} ≡ 1 (mod n), wobei φ(n) Eulers φ-Funktion ist, die die Ordnung der Einheitengruppe (Z/nZ)× angibt.

Prinzip

Die multiplikative Einheitengruppe modulo n hat die Ordnung φ(n), daher liefert Lagranges Satz, dass jede Einheit zur Gruppenordnung potenziert das Einselement ergibt modulo n.

Demonstration

Beispiel: a=3, n=10: φ(10)=4 und 3^4=81≡1 (mod 10). Allgemein kann man Exponenten modul φ(n) reduzieren, wenn man Potenzen von Einheiten berechnet.

Fehlanwendung

Die Kongruenz anwenden, wenn gcd(a,n)≠1 (z. B. a und n nicht teilerfremd) oder annehmen, φ(n) sei das kleinste gemeinsame Exponent für alle Einheiten; das minimale universelle Exponent ist gegebenenfalls durch die Carmichael-Funktion λ(n).

Konsequenz

Ermöglicht Exponentreduziersätze in der modularen Arithmetik und bildet eine Grundlage für kryptographische Protokolle und Algorithmen, die auf modularer Exponentiation beruhen.

Umkehrung

Der kleine Fermatsche Satz ist der Spezialfall n prim; umgekehrt setzt die Gültigkeit der Kongruenz für alle zu n teilerfremden a strukturelle Beschränkungen an die Einheitengruppe (Z/nZ)× voraus.

Abgrenzung

Voraussetzung ist gcd(a,n)=1; der Satz gibt nicht das kleinste Exponent an, das jede Einheit auf 1 führt (das regelt λ(n)) und gilt nicht für Nullteiler modulo n.

Semantische Spannung

Wird oft mit Fermats kleinem Satz oder Aussagen über die Ordnungen einzelner Elemente verwechselt; Eulers Satz ist eine Aussage über die Gruppenordnung, nicht über primitive Wurzeln oder minimale Exponenten aller Einheiten.

Synthese

Eulers Satz fasst den gruppentheoretischen Sachverhalt zusammen, dass Einheiten modulo n die endliche Ordnung φ(n) besitzen, und liefert die praktische Kongruenz a^{φ(n)}≡1 zur Reduktion von Exponenten und zur Verbindung multiplikativer Struktur mit modularer Arithmetik.