## [Point Non-Variété](/fr/node/63229) Définition Un point x d'un espace topologique X tel qu'aucun voisinage de x n'est homéomorphe à un espace euclidien R^n (ou à un demi-espace R^n_+) d'une dimension fixe ; autrement dit, x constitue un défaut local de la structure de variété et ne peut être muni d'un modèle de carte locale unique. ## Principe Principe Une variété exige des voisinages locaux uniformément euclidiens (ou demi-euclidiens pour les points du bord) ; un point non-variété viole cette uniformité au niveau local et empêche l'existence d'un atlas couvrant X qui ferait de X une variété. ## Démonstration Démonstration Le sommet d'un cône en dimension 2 (l'apex) est un point non-variété pour le cône considéré comme sous-ensemble de R^3 : tout voisinage du sommet est homéomorphe à un voisinage conique, et non à un disque ouvert de R^2, donc aucune carte de dimension 2 n'existe en ce point. ## Mauvaise application Mauvaise application Qualifier comme point de variété toute singularité isolée ou tout point de branchement parce qu'il appartient à un ensemble qui est par ailleurs une variété ; traiter à tort un sommet d'un graphe plongé dans le plan comme un point de variété et appliquer des théorèmes de variétés nécessitant des cartes locales euclidiennes. ## Conséquence Conséquence Les outils topologiques et différentiels reposant sur une structure locale euclidienne échouent au point : il n'existe pas de carte locale, les invariants habituels comme l'espace tangent sont indéfinis, et les théorèmes d'extension ou de classification propres aux variétés peuvent ne plus s'appliquer. ## Inversion Inversion Point de variété : un point dont un voisinage est homéomorphe à R^n (ou à R^n_+ pour un point de bord), permettant l'existence de cartes locales et de l'appareil classique des variétés. ## Limite Limite S'applique aux points d'espaces topologiques généraux ou de sous-ensembles d'espaces euclidiens ; exclut les points admettant un voisinage euclidien ou demi-euclidien. Ne caractérise pas à lui seul la nature globale des singularités au-delà de l'absence locale de carte. ## Tension sémantique Tension sémantique La tension réside entre la notion de 'singularité' vue comme irrégularité géométrique ou analytique et le terme 'non-variété' qui est une absence purement topologique de cartes euclidiennes locales ; certaines singularités analytiques peuvent être des points de variété topologique, et certains points non-variété peuvent admettre une description analytique relativement douce. ## Synthèse Synthèse Un point non-variété est une obstruction locale à la structure de variété : ses voisinages ne se modélisent sur aucun espace euclidien d'une dimension fixe, rendant inapplicable la théorie des variétés fondée sur des cartes locales.