## [Ensemble Poreux](/fr/node/63226) Définition Un sous‑ensemble E d'un espace métrique (X,d) est poreux s'il existe une constante c ∈ (0,1) telle que pour tout point x ∈ E et pour tout rayon suffisamment petit r > 0 il existe un point y avec la boule ouverte B(y, c r) contenue dans B(x, r) \ E ; intuitivement E présente des trous de rayon relatif au moins c à toutes les petites échelles autour de chacun de ses points. ## Principe Principe La porosité formalise l'idée de trous relatifs uniformes à des échelles arbitrairement petites : l'existence de boules complémentaires de rayon proportionnel au rayon d'observation est la règle quantitative organisatrice. ## Démonstration Démonstration L'ensemble de Cantor du tiers moyen sur R est poreux : dans tout petit intervalle centré en un point du Cantor on peut trouver un intervalle dont la longueur est proportionnelle à celle du voisinage et qui est contenu dans le complément. Dans l'espace euclidien, de nombreuses poussières fractales et ensembles minces sont poreux alors que les variétés lisses ne le sont pas. ## Mauvaise application Mauvaise application Confondre porosité avec mesure nulle ou avec être d'intérieur vide sans précision ; la porosité implique des propriétés fortes de petitesse (souvent mesure nulle et première catégorie) mais tout ensemble de mesure nulle n'est pas poreux, et la porosité est une condition géométrique strictement plus forte. ## Conséquence Conséquence Les ensembles poreux sont quantitativement clairsemés : la porosité entraîne souvent des majorations de la dimension de Hausdorff ou d'Assouad, fournit des estimations fortes pour la supprimabilité en théorie du potentiel non linéaire et exclut certaines propriétés d'épaisseur ou de densité employées en analyse et en dynamique. ## Inversion Inversion Le concept inverse est un ensemble non poreux ou uniformément non poreux, qui n'admet pas de boules complémentaires relativement grandes à des échelles arbitrairement petites ; de tels ensembles peuvent être uniformément épais, de densité positive ou Ahlfors‑réguliers sur certains intervalles d'échelle. ## Limite Limite La porosité exige un cadre métrique (boules, rayons) et une quantification des échelles 'suffisamment petites' ; des variantes (porosité supérieure, porosité inférieure, σ‑porosité) modifient les quantificateurs et l'étendue, il faut préciser constantes et plages d'échelle. ## Tension sémantique Tension sémantique La porosité se situe entre la petitesse topologique (intérieur vide) et les notions de mesure/dimension : elle est plus forte que l'absence d'intérieur mais différente des notions purement mesurières ou dimensionnelles, ce qui crée une tension lorsqu'on compare les idées de finesse d'un ensemble. ## Synthèse Synthèse Un ensemble poreux est un sous‑ensemble d'un espace métrique qui contient, de façon uniforme aux petites échelles, des trous relativement grands dans son complément ; la porosité est une condition géométrique quantitative de petitesse distincte et plus forte que la simple minceur topologique ou métrique.