## [Point Inaccessible](/fr/node/63222) Définition Un point de la frontière x d'un domaine D qui n'est l'extrémité d'aucune application continue injective γ : [0,1] → D avec γ(1) = x ; autrement dit, il n'existe aucun arc simple contenu dans D qui aboutisse en x, si bien que x n'est pas atteignable depuis l'intérieur par un chemin restant dans le domaine. ## Principe Principe L'inaccessibilité est la négation de la condition d'atteignabilité par chemins : un point de la frontière est inaccessible lorsqu'aucun arc intérieur simple ne peut aboutir en lui, quelle que soit l'existence de suites approchantes. ## Démonstration Démonstration Dans un domaine planaire obtenu en retirant une suite dénombrable de spirales de plus en plus serrées accumulant en un point, le point d'accumulation peut ne pas être l'extrémité d'aucun arc contenu dans le domaine et donc être inaccessible bien qu'il appartienne à la frontière et que tout voisinage rencontre le domaine. ## Mauvaise application Mauvaise application Supposer que l'inaccessibilité implique l'isolement du point par rapport au domaine ou que les points inaccessibles sont rares ; des points inaccessibles peuvent être des points d'accumulation et même être denses sur une partie de la frontière, donc confondre inaccessibilité et éloignement est erroné. ## Conséquence Conséquence Un point de frontière inaccessible empêche les constructions qui reposent sur l'approche par courbes simples : les théorèmes de correspondance de frontière fondés sur l'accès par courbes échouent en ces points et demandent des outils spécifiques (par exemple des extrémités premières dont l'impression n'est pas un singleton). ## Inversion Inversion Le renversement est le point accessible, qui admet au moins un arc simple issu de l'intérieur aboutissant en lui ; inaccessibilité et accessibilité décrivent des comportements opposés vis‑à‑vis d'approches par courbes. ## Limite Limite La notion exige un cadre où les arcs ont un sens (espace métrique ou topologie admettant des chemins) et s'applique aux points de l'adhérence appartenant à la frontière ; ce n'est pas uniquement une propriété topologique d'isolement ni une simple propriété métrique. ## Tension sémantique Tension sémantique L'inaccessibilité se heurte à l'approchabilité séquentielle : un point peut être limite de points intérieurs (approchable par suites) sans être atteignable par aucun arc simple, opposant ainsi les notions séquentielle et cheminée. ## Synthèse Synthèse Un point inaccessible est un point de la frontière d'un domaine qui ne peut pas être atteint par un chemin continu simple issu de l'intérieur ; il signale une obstruction topologique à l'accès par courbes malgré une accumulation d'éléments intérieurs.