##  [Isomorphisme de Thom](/fr/node/63174) 

 Définition

Énoncé de topologie algébrique affirmant que pour un fibré vectoriel de rang k E → B (muni d'une orientation adaptée) il existe une classe de Thom dans la cohomologie de l'espace de Thom Th(E) qui induit un isomorphisme H^*(B; R) → H^{*+k}(Th(E); R) (ou H^*(Th(E)) ≅ H^{*-k}(B) après décalage de degré), permettant les transferts et les applications de Gysin.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

L'existence d'une classe de cohomologie distinguée (la classe de Thom) dans la cohomologie réduite de l'espace de Thom, dont le produit cap avec les classes de cohomologie de la base réalise l'isomorphisme déclaré ; la classe de Thom encode l'orientation du fibré et est naturelle pour les morphismes de fibrés préservant l'orientation.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour un fibré vectoriel réel orienté de rang k E sur une base CW B et des coefficients dans R, construire la classe de Thom u ∈ H^k(Th(E); R) en choisissant une orientation locale et en recollant par partitions de l'unité ou arguments cellulaires ; le produit cap par u fournit l'isomorphisme de Thom H^*(B; R) → H^{*+k}(Th(E); R).

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Prétendre que l'isomorphisme vaut sans hypothèse d'orientation ou avec des anneaux de coefficients inadaptés (par exemple Z pour un fibré non orientable) entraîne des erreurs ; oublier le décalage de degrés ou confondre l'isomorphisme de Thom avec la dualité de Poincaré sont des confusions fréquentes.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Permet de définir des applications de Gysin/transferts, de démontrer des théorèmes de dualité dépendant de l'orientation, de calculer des classes caractéristiques via des classes de Thom et d'appliquer des techniques de transfert en cohomologie ; c'est un outil clé pour relier les données de fibrés à la cohomologie de la base.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

L'absence d'isomorphisme de Thom signale l'absence d'une classe de Thom globale et donc une non‑orientabilité (ou la nécessité de systèmes locaux de coefficients) ; réciproquement, l'existence d'une classe de Thom équivaut à un choix d'orientation du fibré pour les coefficients choisis.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux fibrés vectoriels (ou fibrations en sphères) et requiert le choix d'un système de coefficients ou de coefficients locaux pour coder l'orientation ; il ne vaut pas, tel quel avec des coefficients triviaux, pour les fibrés non orientables et ne remplace pas les théories d'obstruction d'orientation plus fines.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

La tension se situe entre l'isomorphisme de Thom et d'autres dualités (comme la dualité de Poincaré) et entre versions entières et mod p ; le choix de coefficients locaux ou la stabilisation modifient la formulation précise et son domaine d'application.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'Isomorphisme de Thom identifie la cohomologie de l'espace de Thom d'un fibré avec celle de la base à un décalage de degré près en codant l'orientation par une classe de Thom ; cette classe unique sous tend les applications de transfert, la théorie de l'orientation et de nombreux calculs reliant fibrés et cohomologie de la base.