##  [Théorème de Séparation Jordan–Brouwer](/fr/node/63166) 

 Définition

Une généralisation du théorème de la courbe de Jordan : un plongement d'une (n−1)-sphère S^{n−1} dans R^n sépare R^n en exactement deux régions complémentaires, l'une bornée (l'« intérieur ») et l'autre non bornée (l'« extérieur »), et la sphère plongée en est le bord commun.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Les sphères plongées de codimension un dans l'espace euclidien provoquent une séparation topologique : une (n−1)-sphère plongée dans R^n divise l'espace ambiant en deux composantes en raison de l'orientabilité et de la nature codimension‑un du plongement, fournissant un intérieur et un extérieur bien définis.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour n=3, une 2‑sphère plongée dans R^3 borne une région bornée (une 3‑boule) et un extérieur non borné ; la dualité d'Alexander ou des arguments de degré en topologie algébrique formalisent cette séparation pour n général en reliant l'homologie réduite du complément à l'homologie de la sphère.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Prendre le théorème pour valable pour toute (n−1)-variété fermée plongée dans R^n ; la conclusion de séparation dépend du fait que la variété plongée est une sphère (c'est‑à‑dire a l'homologie/type de S^{n−1}). Des plongements de topologie compliquée ou d'homologie non sphérique peuvent ne pas séparer en exactement deux régions complémentaires comme énoncé.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Constitue un outil fondamental pour comprendre la topologie des plongements en codimension un et sous-tend de nombreux résultats de classification et de dualité ; il garantit que des plongements sphériques standards délimitent une seule composante bornée utilisée en décomposition et chirurgie de variétés.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

La réciproque est fausse en général : une hypersurface fermée plongée qui sépare n'est pas nécessairement homéomorphe à une (n−1)-sphère. De plus, des ensembles non plongés ou singuliers ayant l'homologie d'une sphère peuvent ne pas séparer de la même manière.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Valable pour les plongements de sphères S^{n−1} comme plongements lisses, PL ou topologiques dans R^n sous les hypothèses usuelles ; exclut les images non plongées, les sphères immersées avec auto‑intersections et les plongements de codimension supérieure où le comportement de séparation diffère.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre critères homologiques/topologiques (dualité d'Alexander) et intuition géométrique : certains ensembles à homologie sphérique se comportent comme des sphères pour la séparation, tandis que d'autres nécessitent des hypothèses de bonne tameness/plongement ; tension aussi entre la particularité de la codimension un et l'échec en codimensions supérieures.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le Théorème de séparation Jordan–Brouwer étend la séparation jordonienne au-delà du plan : une (n−1)-sphère plongée dans R^n partage l'espace en exactement deux composantes — un intérieur borné et un extérieur non borné — faisant de ces plongements de sphères des bords canoniques pour régions bornées et des éléments centraux des arguments de dualité et décomposition.