## [Compacité Dénombrable](/fr/node/63142) Définition Propriété topologique : un espace est compact dénombrablement si tout recouvrement ouvert dénombrable admet un sous-recouvrement fini ; de façon équivalente (sous les hypothèses de séparation usuelles) tout sous-ensemble dénombrablement infini admet un point d'accumulation. ## Principe Principe Les familles dénombrables ou les sous-ensembles dénombrables suffisent pour contrôler une forme affaiblie de compacité : on restreint l'exigence de compacité aux familles dénombrables afin d'évaluer la propension de l'espace à laisser les points « s'échapper » de façon dénombrable. ## Démonstration Démonstration L'espace [0,ω1) (le premier ordinal non dénombrable muni de la topologie d'ordre) est compact dénombrable mais pas compact ; tout sous-ensemble dénombrable y a une borne supérieure ordinale strictement inférieure à ω1 et donc un point d'accumulation, tandis qu'il existe un recouvrement ouvert non dénombrable sans sous-recouvrement fini. ## Mauvaise application Mauvaise application Confondre la compacité dénombrable avec la compacité séquentielle dans des espaces quelconques ; présumer qu'un espace compact dénombrable est compact sans vérifier les recouvrements non dénombrables ou les axiomes de séparation. ## Conséquence Conséquence Quand elle s'applique, on peut remplacer des arguments de compacité par des arguments ne faisant intervenir que des sous-recouvrements dénombrables ou des points d'accumulation de sous-ensembles dénombrables, ce qui simplifie les démonstrations dans des contextes où la compacité totale échoue mais la compacité dénombrable tient. ## Inversion Inversion La négation donne des espaces admettant un recouvrement ouvert dénombrable sans sous-recouvrement fini ou un sous-ensemble dénombrablement infini sans point d'accumulation ; des exemples familiers dans la métrique fournissent des contre-exemples explicites. ## Limite Limite S'applique aux espaces topologiques ; les équivalences avec la formulation par points d'accumulation requièrent des hypothèses T1 ou proches. C'est strictement plus faible que la compacité en général et non comparable à la compacité séquentielle sans hypothèses supplémentaires. ## Tension sémantique Tension sémantique Tension sémantique avec la compacité séquentielle et la compacité par points limites : ces notions diffèrent en général, coïncident sous des hypothèses supplémentaires (par exemple en espaces métriques ou première dénombrabilité T1) mais divergent dans des topologies exotiques. ## Synthèse Synthèse La compacité dénombrable isole le comportement de compacité observable par des familles ou des sous-ensembles dénombrables : elle empêche toute fuite dénombrable de points tout en autorisant des échecs qui n'apparaissent qu'à l'échelle non dénombrable.