##  [Poids Π](/fr/node/63132) 

 Définition

Le Poids Π Πw(X) d'un espace topologique X est la moindre cardinalité d'un π-réseau pour X : une famille d'ouverts non vides telle que tout ouvert non vide de X contient au moins un membre de cette famille.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Le principe du Poids Π est de mesurer la taille minimale d'une collection d'ouverts non vides qui « touche » tous les ouverts non vides ; il organise la façon dont on peut échantillonner les ouverts de façon parcimonieuse tout en rencontrant tous les ouverts non vides.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour un espace discret de cardinal κ, chaque singleton est ouvert, la famille des singletons est un π-réseau et Πw(X)=κ. Pour la droite réelle R munie de la topologie usuelle, il existe un π-réseau dénombrable (par exemple les intervalles ouverts à extrémités rationnelles), donc Πw(R)=ℵ0.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Considérer des familles quelconques de parties (non ouvertes ou contenant le vide) comme π-réseaux, ou confondre Πw(X) avec le poids w(X) (taille minimale d'une base) ou le poids du réseau Nw(X) : ces confusions donnent des valeurs inexactes de l'invariant.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Connaître Πw(X) fournit des minorations pour d'autres invariants et peut contrôler le comportement vis-à-vis des recouvrements et des images : un petit Poids Π entraîne souvent des conséquences analogues à la séparabilité pour certaines images et sous-espaces.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Remplacer la condition de π-réseau par celle d'une base (chaque ouvert est réunion d'éléments de la base) donne le poids ordinaire w(X) ; inverser la quantification en exigeant de grandes familles qui évitent certains ouverts mène à des notions maximales complémentaires, non au Poids Π.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux espaces topologiques et à leur structure d'ouverts ; il présuppose la considération des ouverts non vides et des π-réseaux en particulier, et ne mesure pas les fermés, les sous-espaces discrets ou des bases algébriques à moins qu'ils ne soient exprimés comme π-réseaux.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

La tension s'établit entre le Poids Π et le Poids du Réseau ou le poids ordinaire : un π-réseau ne fait que rencontrer chaque ouvert non vide, tandis qu'un réseau ou une base imposent des conditions d'inclusion plus fortes, donnant des invariants de cardinalité différents.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le Poids Π est la cardinalité minimale d'une famille d'ouverts non vides rencontrant chaque ouvert non vide de X ; il traduit la capacité à échantillonner la topologie de façon plus lâche qu'une base mais suffisamment forte pour influer sur de nombreux invariants cardinaux.