## [Pseudo-Caractère](/fr/node/63128) Définition Le cardinal minimal κ d'une famille de voisinages ouverts d'un point dont l'intersection est exactement ce singleton ; le pseudo-caractère d'un espace est le supremum des pseudo-caractères de ses points et se note ψ(x,X) ou ψ(X). ## Principe Principe Mesure à quel point un point peut être séparé du reste de l'espace par des ouverts en comptant combien de voisinages sont nécessaires pour que leur intersection isole le point. ## Démonstration Démonstration Dans les espaces T1 les singletons sont fermés, et dans de nombreux espaces usuels (espaces métrisables) on peut exhiber des familles dénombrables de voisinages dont l'intersection vaut {x}, donc ψ=ℵ0 ; dans certains produits de grande taille le pseudo-caractère peut être plus grand, reflétant la difficulté d'isoler les points par intersection d'ouverts. ## Mauvaise application Mauvaise application Confondre pseudo-caractère et caractère local conduit à des erreurs : un point peut avoir un petit pseudo-caractère (peu d'ouverts s'intersectant en le point) mais un grand caractère (pas de petite base), donc la séparation par intersections n'implique pas la génération locale par unions. ## Conséquence Conséquence Un pseudo-caractère borné implique un meilleur contrôle sur les applications séparant les points et le comportement des espaces de fonctions : un petit pseudo-caractère simplifie souvent la construction de fonctions continues séparant points et fermés. ## Inversion Inversion La situation opposée est qu'aucune petite famille de voisinages n'isole le point, de sorte que le pseudo-caractère est grand ; cela indique que les points sont difficiles à séparer topologiquement par intersections d'ouverts et complique les constructions séparatrices. ## Limite Limite Le pseudo-caractère est un invariant de séparation relatif à T1 défini à l'aide d'intersections de voisinages ouverts ; il n'affirme rien sur les adhérences d'ensembles ni sur les π-bases et s'applique différemment en contextes non T1 où les singletons ne sont pas nécessairement fermés. ## Tension sémantique Tension sémantique Le pseudo-caractère est en tension avec le caractère et le π-caractère : le caractère compte des générateurs par unions, le π-caractère compte des ouverts non vides rencontrant les voisinages, tandis que le pseudo-caractère compte des familles d'intersection — chacun mesure un mode différent de contrôle local. ## Synthèse Synthèse Le pseudo-caractère quantifie combien d'ouverts il faut intersecter pour isoler un point ; il rend compte de la force de séparabilité fondée sur des intersections en un point et complète des invariants fondés sur des unions comme le caractère.