## [Tension](/fr/node/63124) Définition Le plus petit cardinal κ tel que, pour tout sous-ensemble A d'un espace et tout point x dans l'adhérence de A, il existe B⊆A avec |B|≤κ et x dans l'adhérence de B ; cet invariant mesure dans quelle mesure les adhérences sont contrôlées par de petits sous-ensembles, noté t(X) ou T(X). ## Principe Principe Décrit à quel point les points limites dépendent de petits sous-ensembles : une faible tension signifie que les adhérences sont déterminées par de petits morceaux, établissant un lien entre le comportement des adhérences en un point et des contraintes de cardinalité. ## Démonstration Démonstration Dans les espaces à base dénombrable en chaque point la tension vaut ℵ0 car l'adhérence en un point est déterminée par des suites (ensembles dénombrables) ; pour un espace muni de la topologie cofinie sur un ensemble non dénombrable la tension vaut 1 puisque tout point dans l'adhérence de A appartient soit à A soit tout ouvert cofin contient le point, donc un singleton suffit. ## Mauvaise application Mauvaise application Supposer qu'une faible tension implique la métrisabilité ou la première dénombrabilité est incorrect ; la tension n'est qu'une des conditions et n'entraîne pas à elle seule l'existence de bases locales dénombrables. ## Conséquence Conséquence Une borne sur la tension permet de contrôler cardinalités pour les adhérences et influence les propriétés héréditaires : les espaces de faible tension permettent souvent des arguments de réduction remplaçant de grands ensembles par de petits témoins pour vérifier des propriétés liées aux adhérences. ## Inversion Inversion Inverser la notion donne des espaces dont les adhérences exigent des sous-ensembles arbitrairement grands pour attester qu'un point en fait partie — une tension élevée indique un faible contrôle local par de petits ensembles. ## Limite Limite S'applique à des espaces topologiques arbitraires et concerne les adhérences par rapport à des sous-ensembles quelconques ; elle ne prescrit pas directement le type de suites ou de filets nécessaires, et elle se distingue de notions comme la séquentialité ou la propriété de Fréchet–Urysohn. ## Tension sémantique Tension sémantique La tension se rapproche de l'ordre séquentiel et de la propriété de Fréchet–Urysohn mais s'en distingue : les espaces séquentiels relient les adhérences aux suites spécifiquement, tandis que la tension quantifie la taille cardinale des témoins sans prescrire leur forme. ## Synthèse Synthèse La tension mesure la taille cardinale minimale des témoins nécessaires pour déterminer les adhérences en des points : elle capture comment l'appartenance à l'adhérence peut se réduire à de petits sous-ensembles et interagit avec d'autres propriétés topologiques locales et héréditaires.