##  [Cobordisme](/fr/node/63106) 

 Définition

Une relation entre variétés fermées de dimension n : deux variétés fermées M et N de dimension n sont cobordantes s'il existe une variété compacte de dimension n+1, W, telle que ∂W soit la réunion disjointe ∂W ≅ M ⨿ N (en tenant compte des orientations dans la catégorie orientée).

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Le cobordisme organise les variétés en classes d'équivalence en admettant une variété d'une dimension supérieure qui « interpole » entre elles via son bord ; c'est une relation d'équivalence qui conduit à des structures algébriques (groupes de cobordisme) pour l'union disjointe et l'opération bord.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Le cercle S^1 est cobordant à la variété vide en dimension 1 car le disque D^2 est une variété compacte de dimension 2 dont le bord ∂D^2 = S^1, ainsi S^1 est nul-cobordant. Dans la catégorie orientée, il faut vérifier la compatibilité des orientations.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Interpréter le cobordisme comme une homéomorphie ou une difféomorphie — des variétés cobordantes ne sont pas nécessairement homéomorphes ni difféomorphes ; le cobordisme est une équivalence plus faible qui autorise le passage par un interpolant de dimension n+1.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Les classes de cobordisme forment des groupes abéliens gradués sous l'union disjointe ; de nombreux invariants globaux (nombres de Stiefel–Whitney, nombres de Pontryagin dans les catégories appropriées) empêchent la nullité de cobordisme, de sorte que calculer le cobordisme apporte des informations profondes de classification.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Le point de vue inverse met l'accent sur le fait d'être bord : une variété est nul-cobordante si elle apparaît comme le bord entier d'une variété compacte d'une dimension supérieure ; inverser la relation échange les rôles des deux composantes du bord de la variété de cobordisme.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Le cobordisme standard concerne des variétés fermées (compactes sans bord) ; il existe des variantes incluant le cobordisme avec bord, le cobordisme de variétés munies de structures supplémentaires (orientation, trivilisation, structure complexe), et le cobordisme relatif — chacune impose des restrictions additionnelles.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Cobordisme versus homologie ou équivalence d'homotopie : le cobordisme est indépendant du type d'homotopie simple et peut relier des variétés de types d'homotopie différents ; il est plus lâche que l'homéomorphisme mais plus fin que des relations insensées et interagit subtilement avec les classes caractéristiques.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le cobordisme constate que deux variétés fermées de dimension n sont bordées par une même variété compacte de dimension n+1 ; c'est une relation d'équivalence sensible aux structures supplémentaires, donnant lieu à des invariants algébriques calculables et organisant la classification des variétés via des interpolants d'une dimension supérieure.