##  [Rétraction](/fr/node/63102) 

 Définition

Une application continue r : X → A d'un espace topologique X sur un sous-espace A ⊆ X telle que la restriction de r à A est l'identité sur A (r|_A = id_A).

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Une rétraction agit comme une projection qui laisse le sous-espace désigné immobile tout en ramassant ou en projetant le reste de l'espace ambiant dessus ; algébriquement, elle fournit une rétraction droite de l'inclusion A ↪ X.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Si X = A × [0,1], la projection r(a,t)=a est une rétraction sur A × {0}. Dans l'espace euclidien, la projection orthogonale linéaire de R^n sur un sous-espace linéaire L est une rétraction de R^n sur L si l'on choisit un complément linéaire.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Considérer que toute inclusion A ↪ X admet une rétraction (par exemple supposer que le disque unité fermé se rétracte continûment sur sa sphère frontière) — une telle application peut ne pas exister et, dans de nombreux cas classiques, cela est impossibile.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Si r : X → A est une rétraction et i : A ↪ X l'inclusion alors r ◦ i = id_A, donc les morphismes induits sur les groupes fondamentaux et la homologie satisfont r_* ◦ i_* = id ; en particulier i_* est injectif et r_* est surjectif.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

L'idée inverse est le problème d'extension (ou de section) : étant donné f : A → Y, une extension est F : X → Y avec F|_A = f ; contrairement à une rétraction, une extension ne scinde pas nécessairement une inclusion et est généralement une condition plus faible.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Nécessite un sous-espace A spécifié de X et la continuité de l'application ; exclut les rétractions au sens homotopique qui n'existent que jusqu'à homotopie sauf si l'on précise qu'il s'agit d'une déformation rétractante ou d'une forte déformation rétractante.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Rétraction vs déformation rétractante : une rétraction est une application continue unique vérifiant r|_A = id, tandis qu'une déformation rétractante est une homotopie à travers des applications de X dans X qui fixe A et aboutit à une rétraction ; cette dernière est strictement plus forte.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Une rétraction est le découplage point par point concret d'une inclusion A ↪ X par une application continue r : X → A ; elle fixe A point par point, induit un scindage sur les invariants algébriques et doit être distinguée des notions homotopiques définies seulement à homotopie près.