##  [Homotopie](/fr/node/63098) 

 Définition

Une famille continue d'applications F : X × [0,1] → Y interpolant entre deux applications continues f0 et f1 (F(·,0)=f0, F(·,1)=f1) ; elle formalise l'idée de déformer continûment une application en une autre.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Identifier les applications qui se déforment l'une en l'autre par un paramètre continu : l'homotopie est une relation d'équivalence sur les applications (sous conditions techniques) qui capture l'invariance par déformation plutôt que l'égalité point par point.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Une boucle est nul‑homotope si elle se prolonge en une application continue du disque ; par exemple toute boucle dans R^n est nul‑homotope par contraction radiale, tandis qu'une boucle contourant un point supprimé du plan ne l'est pas.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Employer 'homotopie' alors qu'il faut 'isotopie' (déformation par plongements) ou confondre équivalence d'homotopie des espaces avec des notions plus faibles comme l'équivalence d'homologie ; cela peut invalider des conclusions géométriques sur des plongements ou des structures différentiables.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

L'homotopie engendre le groupe fondamental et les groupes d'homotopie supérieurs, soutient la théorie des obstructions et organise de nombreux résultats de classification : deux applications homotopes induisent souvent les mêmes applications sur les groupes d'homotopie et la cohomologie.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Remplacer l'homotopie par l'homéomorphisme ou l'isotopie renforce la notion (équivalence plus fine préservant des données ponctuelles ou d'immersion) ; la remplacer par l'équivalence d'homologie l'affaiblit (on perd l'information sur les groupes d'homotopie supérieurs et le groupe fondamental).

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Nécessite des applications continues et une topologie ambiante ; l'homotopie relative (fixe une sous‑partie) et l'homotopie pointée (fixe un point base) sont des variantes imposant des contraintes supplémentaires. L'homotopie ne détecte pas des phénomènes invisibles aux déformations continues, tels que des obstructions d'isotopie lisse ou des torsions fines des groupes d'homotopie.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre homotopie et isotopie ou diffeotopie : l'homotopie autorise auto‑intersections et déformations arbitraires continues, l'isotopie non. Il existe aussi une tension entre l'intuition fondée sur l'homotopie et les invariants algébriques comme l'homologie qui rendent compte d'aspects différents de la topologie.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'homotopie est la notion formelle de déformation continue entre applications : elle identifie les applications qu'on peut transformer continûment l'une en l'autre, produit des invariants algébriques fondamentaux et des outils de classification, tout en restant distincte d'équivalences géométriques plus fortes comme l'isotopie.