## [Hauteur de Néron–Tate](/fr/node/63069) Définition Une fonction hauteur canonique quadratique (ou un accouplement de hauteurs) sur les points rationnels d'une variété abélienne sur un corps global, construite pour être quadratique sous multiplications-by-n et pour éliminer les termes d'erreur bornés des hauteurs naïves, fournissant un accouplement régulateur bilinéaire sur les groupes de Mordell–Weil. ## Principe Principe Normaliser une hauteur géométrique (hauteur de Weil) à l'aide des tirés en arrière par les applications de multiplication de sorte que la hauteur canonique résultante soit une forme quadratique satisfaisant Ĥ([n]P)=n^2 Ĥ(P) ; cette stabilité induit la fonctorialité, se décompose en contributions locales et se relie à la théorie d'intersection sur des modèles entiers. ## Démonstration Démonstration Sur une courbe elliptique sur un corps de nombres, la hauteur de Néron–Tate d'un point rationnel se calcule comme la limite des hauteurs naïves mises à l'échelle par les itérés de multiplication ; le régulateur formé par l'accouplement de hauteurs sur une base du groupe de Mordell–Weil apparaît dans la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer et contrôle les calculs de rang. ## Mauvaise application Mauvaise application Utiliser la hauteur logarithmique naïve à la place de la hauteur canonique lorsque la quadraticité est essentielle (par exemple pour définir un régulateur), ou ne pas choisir un fibré en droites ample symétrique de sorte que la normalisation canonique échoue, produit des accouplements et des inférences de rang erronés. ## Conséquence Conséquence La hauteur de Néron–Tate fournit une forme quadratique semi-définie positive dont le noyau est le sous-groupe des points de torsion, donne un régulateur canonique mesurant la complexité arithmétique des points rationnels et permet des arguments analytiques et de descente sensibles au rang et à la distribution des points. ## Inversion Inversion Utiliser des fonctions de hauteur locales brutes ou des hauteurs naïves sans la normalisation canonique produit des fonctions uniquement quasi-quadratiques (à erreur bornée) qui ne fournissent pas l'accouplement régulateur bilinéaire exact ni la relation nette avec les nombres d'intersection. ## Limite Limite Définie pour des variétés abéliennes sur des corps globaux avec le choix d'un fibré en droites ample symétrique ; elle est canonique seulement à erreur bornée relative à différents modèles et ne s'applique pas mot à mot aux points algébriques sur des bases non globales sans adapter la construction. ## Tension sémantique Tension sémantique Souvent mise en contraste avec les hauteurs naïves (de Weil) et les décompositions en hauteurs locales : les hauteurs naïves sont plus simples à calculer mais manquent d'exactitude quadratique, tandis que les hauteurs canoniques conviennent aux invariants arithmétiques mais nécessitent des limites et des choix de fibrés. ## Synthèse Synthèse La hauteur de Néron–Tate est le raffinement quadratique canonique des hauteurs naïves sur les variétés abéliennes : en imposant la quadraticité sous multiplication et en se décomposant en hauteurs locales elle produit le régulateur, distingue la torsion et quantifie la taille arithmétique de façon fonctorielle et via la théorie d'intersection.