##  [Formule de Legendre](/fr/node/62971) 

 Définition

Formule donnant l'exposant du premier p divisant n! : v_p(n!) = Σ_{k≥1} floor(n/p^k), c'est-à-dire que la valuation p-adique de n! est la somme des parties entières de n divisées par les puissances successives de p jusqu'à disparition des termes.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Compter les contributions des multiples de p, p^2, p^3, … dans n! : chaque multiple de p apporte au moins un facteur p, les multiples de p^2 apportent un facteur supplémentaire, etc. ; la somme des parties entières agrège exactement ces contributions.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Exemple : pour n=10 et p=2, v_2(10!) = floor(10/2)+floor(10/4)+floor(10/8)+floor(10/16)+… =5+2+1+0+…=8, donc 2^8 divise 10! mais 2^9 ne le divise pas.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Utiliser la somme infinie sans prendre les parties entières ou oublier que les termes finissent par s'annuler ; ou essayer d'appliquer la formule à d'autres objets que les factorielles (par ex. produits binomiaux quelconques) sans vérifier la structure combinatoire.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Fournit une méthode efficace et exacte pour calculer les valuations p-adiques des factorielles, centrale dans les arguments de divisibilité, l'évaluation des valuations des coefficients binomiaux et en théorie p-adique et combinatoire des nombres.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Plutôt que de sommer floor(n/p^k), on peut voir les valuations de façon combinatoire via le comptage des retenues en addition en base p (théorème de Kummer), offrant une perspective duale : Legendre compte les multiples, Kummer compte les retenues dans l'addition des indices binomiaux.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

La formule s'applique à n! pour les entiers n≥0 et les nombres premiers p ; elle ne se généralise pas directement aux analogues de factorielle non entiers ni aux valuations de suites entières arbitraires sans décomposition combinatoire appropriée.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Rapport étroit et confusion possible avec le théorème de Kummer et les techniques de valuation p-adique : Legendre donne une somme de parties entières directe, tandis que Kummer caractérise la valuation des coefficients binomiaux par les retenues en base p, deux points de vue complémentaires mais distincts.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La Formule de Legendre exprime exactement la valuation p-adique de n! comme somme des parties entières de n divisées par les puissances de p, encodant le compte des multiplicités des puissances premières dans les factorielles et servant d'outil de calcul pratique en divisibilité et études p-adiques.