## [Théorème de Roth](/fr/node/62967) Définition Résultat fondamental en approximation diophantienne affirmant que tout nombre algébrique irrationnel α n'admet pas d'approximations rationnelles p/q arbitrairement bonnes : pour tout ε>0, l'inégalité |α−p/q|<1/q^{2+ε} n'a que finitement de solutions rationnelles p/q. Équivalemment, l'exposant d'approximation d'un algébrique irrationnel est 2. ## Principe Principe Les algébriques irrationnelles résistent à des approximations rationnelles meilleures que le seuil quadratique de Dirichlet ; le théorème force l'exposant d'approximation au minimum diophantien 2, à un epsilon arbitraire près. ## Démonstration Démonstration Instance concrète : pour α=√2 et tout ε>0 fixé il n'existe qu'un nombre fini de rationnels p/q vérifiant |√2−p/q|<1/q^{2+ε}, contrairement aux nombres de Liouville qui admettent une infinité d'approximations extrêmement bonnes. ## Mauvaise application Mauvaise application Considérer Roth comme effectif en affirmant des bornes explicites ou des algorithmes pour toutes les approximations suffisamment bonnes ; la méthode de Roth est inefficace et ne fournit pas de borne calculable pour l'épuisement de l'ensemble fini. ## Conséquence Conséquence Conduit à des résultats de finitude pour de nombreuses inégalités diophantiennes et soutient des raffinements ultérieurs et des résultats de transference ; il distingue nettement les algébriques irrationnelles des transcendantes quant à la qualité d'approximation. ## Inversion Inversion En revanche, les nombres transcendants (et en particulier les nombres de Liouville) peuvent être approchés arbitrairement bien par des rationnels, exhibant des exposants d'approximation supérieurs à 2 voire infinis, de sorte que la conclusion de Roth n'y tient pas. ## Limite Limite S'applique uniquement aux nombres algébriques irrationnels ; il ne concerne pas les rationnels (degré 1) ni directement les transcendants, et il donne une finitude sans fournir la liste effective des exceptions. ## Tension sémantique Tension sémantique Tension entre la finitude qualitative de Roth et les résultats effectifs : certains théorèmes d'approximation diophantienne donnent des constantes explicites (par exemple des résultats de type Baker), tandis que Roth donne l'exposant optimal sans constantes effectives, confusion fréquente. ## Synthèse Synthèse Le Théorème de Roth affirme que les algébriques irrationnelles ont un exposant d'approximation diophantienne égal à 2 : elles n'admettent qu'un nombre fini d'approximations rationnelles dépassant le seuil 1/q^{2+ε}, barrière qualitative décisive séparant le comportement algébrique du comportement transcendantal en approximation.