## [Nombre Puissant](/fr/node/62951) Définition Un entier positif n est dit puissant si, pour tout premier p divisant n, p^2 divise aussi n ; autrement dit, dans la décomposition n = ∏ p_i^{α_i}, chaque exposant α_i ≥ 2. ## Principe Principe Exiger que chaque facteur premier apparaisse avec un exposant au moins égal à deux ; les nombres puissants sont stables par multiplication par des carrés et peuvent se décrire comme des entiers de la forme a^2·b^3 (avec des nonunicités) dans une caractérisation utile. ## Démonstration Démonstration 72 = 2^3·3^2 est puissant car les premiers divisant 72 sont 2 et 3 et les carrés 2^2 et 3^2 divisent 72 ; les exposants de la factorisation sont 3 et 2, tous ≥ 2. ## Mauvaise application Mauvaise application Qualifier de puissant un nombre ayant des facteurs premiers répétés quand un des premiers apparaît seulement à la puissance 1 (par exemple 18 = 2·3^2 n'est pas puissant parce que 2 apparaît à la puissance 1), ou confondre les nombres puissants avec les puissances parfaites. ## Conséquence Conséquence Les nombres puissants ont un comportement simplifié pour certaines fonctions arithmétiques multiplicatives et interviennent dans l'étude de solutions entières d'équations nécessitant une forte multiplicité première ; ils constituent un sous-ensemble infini mais clairsemé des entiers. ## Inversion Inversion La classe complémentaire contient les entiers ayant au moins un facteur premier à la puissance 1 ; inverser la condition autorise les nombres premiers et les entiers sans carré premier, au lieu d'exiger que les premiers soient au moins au carré. ## Limite Limite La définition s'applique uniquement aux entiers positifs et dépend de la factorisation en nombres premiers ; les nombres possédant un facteur premier d'exposant un en sont exclus. La représentation sous la forme a^2·b^3 n'est pas canonique et doit être maniée avec prudence ; la propriété de puissance est stable par multiplication par un carré. ## Tension sémantique Tension sémantique Proche du concept 'squarefull' (carré-plein), souvent synonyme, et du concept 'puissance parfaite' ; la tension vient du fait que 'puissance parfaite' exige une puissance globale commune tandis que 'puissant' impose la condition exposant par exposant ≥2. ## Synthèse Synthèse Un nombre puissant est un entier positif dont la décomposition en facteurs premiers n'admet aucun exposant égal à un, c’est-à-dire que chaque premier divisant le nombre le divise au moins au carré, fournissant des nombres riches en facteurs premiers répétés.