##  [Nombre Parfait](/fr/node/62937) 

 Définition

Un entier positif égal à la somme de ses diviseurs positifs propres (diviseurs exclusifs du nombre lui-même).

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Caractérisé par la fonction somme des diviseurs σ satisfaisant σ(n) = 2n, donc la somme des diviseurs propres s(n) = n ; structure une classe d'entiers présentant un équilibre exact entre les parties et le tout.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Des exemples sont 6 (1+2+3), 28 (1+2+4+7+14) et 496. Les nombres parfaits pairs sont exactement ceux de la forme 2^{p−1}(2^{p}−1) où 2^{p}−1 est premier ; l'existence de nombres parfaits impairs reste inconnue.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Inclure le nombre lui-même parmi les diviseurs propres, appelant ainsi 1 nombre parfait, ou traiter des quasi-égalités (quasi-parfaits ou multiples parfaits) comme parfaites sans la condition d'égalité exacte.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Les nombres parfaits relient l'arithmétique des diviseurs à la structure des nombres premiers (via les nombres premiers de Mersenne) et fournissent des cibles concrètes pour la classification et la recherche computationnelle ; une preuve sur l'existence d'un impair résoudrait une question ancienne.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Les concepts inverses sont les nombres abondants (la somme des diviseurs propres dépasse n) et les nombres déficients (la somme est inférieure à n), qui mesurent l'asymétrie dans les deux sens opposés.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Limité aux entiers positifs ; exige l'égalité exacte entre n et la somme de ses diviseurs propres. Exclut les nombres abondants, déficients, quasi-parfaits (hypothétiques) et les multiples parfaits à moins qu'ils ne satisfassent l'égalité.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

En tension avec les nombres multiples parfaits (où σ(n) est un multiple de n) et avec les quasi-égalités comme les quasi-parfaits ; la tension porte sur la différence entre équilibre exact et équilibres approchés ou proportionnels de la somme des diviseurs.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Un nombre parfait est un entier positif dont les diviseurs propres s'additionnent précisément pour reconstituer le nombre, un équilibre arithmétique rare lié, pour les cas pairs, aux nombres premiers de Mersenne et, pour les cas impairs, à une question non résolue.