##  [Évaluation du Symbole de Legendre](/fr/node/62923) 

 Définition

La détermination algorithmique du symbole de Legendre (a|p) pour un entier a modulo un nombre premier impair p, donnant 1 si a est un résidu quadratique modulo p (avec a ≠ 0 mod p), −1 si a est un non‑résidu, et 0 si a ≡ 0 mod p.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

S’appuyer sur la multiplicativité et le critère d’Euler : (a|p) ≡ a^{(p−1)/2} (mod p), puis utiliser la réciprocité quadratique et la réduction modulo p pour ramener l’évaluation à des résidus plus petits et des cas connus.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Exemple : p = 7, a = 3. Calculer 3^{(7−1)/2}=3^3=27≡6≡−1 (mod 7), donc (3|7)=−1 ; 3 est un non‑résidu quadratique modulo 7.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Appliquer la formule du symbole de Legendre à des modules composites (prendre la valeur du symbole de Jacobi pour une décision), ou présumer que (a|p)=1 donne directement une racine carrée sans vérifier p ou les inverses multiplicatifs.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Une évaluation correcte détermine la solvabilité de x^2≡a (mod p), facilite la résolution des congruences quadratiques et alimente les calculs de réciprocité et les sommes de caractères en théorie des nombres algébrique et analytique.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Remplacer le symbole de Legendre par le symbole de Jacobi (mod un composé) inverse la décision : une valeur de Jacobi égale à 1 ne garantit plus la résiduosité quadratique, mettant en évidence la différence entre module premier et composite.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S’applique uniquement aux entiers a et aux modules premiers impairs p (p>2) ; exclut le module 2 et les modules composites sauf réinterprétation explicite en symbole de Jacobi ; suppose les calculs dans Z/pZ et des représentants canoniques.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre le test algébrique compact (critère d’Euler) et le symbole de Jacobi plus général mais moins déterminant : l’un donne une réponse exacte pour les premiers, l’autre est similaire en coût mais plus faible sémantiquement pour les composés.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L’évaluation du symbole de Legendre est une procédure algorithmo‑algébrique qui, grâce au critère d’Euler, à la multiplicativité et à la réciprocité, ramène la question de la résiduosité quadratique modulo un premier impair à des calculs finis de puissances et de signes, avec portée et limites explicites.