##  [Caractère de Dirichlet](/fr/node/62899) 

 Définition

Un caractère de Dirichlet modulo N est une fonction arithmétique complètement multiplicative χ : Z → C périodique de période N, qui s'annule sur les entiers non premiers à N et qui se factorise par le groupe des unités (Z/NZ)^× via un homomorphisme de groupes vers C^×.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Construire des caractères comme extensions par zéro d'homomorphismes de groupes depuis le groupe multiplicatif des unités modulo N vers les nombres complexes non nuls ; utiliser leur orthogonalité et leur multiplicativité pour isoler des progressions arithmétiques et construire des séries L.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour le module 4, le caractère non principal χ défini par χ(1)=1, χ(3)=-1 et χ(n pair)=0 est un caractère de Dirichlet ; il distingue les résidus 1 et 3 modulo 4 et intervient comme poids dans L(s,χ) pour étudier les nombres premiers ≡1 ou 3 mod 4.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Employer une fonction périodique modulo N qui n'est pas multiplicative ou qui ne s'annule pas sur les entiers non premiers à N ; confondre des caractères additifs e^{2πikn/N} avec des caractères de Dirichlet ou omettre de vérifier la primitivité et le conducteur.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Les caractères de Dirichlet donnent lieu à des séries L de Dirichlet aux propriétés analytiques et obéissent à des relations d'orthogonalité qui permettent de moyenner sur les résidus et de démontrer des résultats tels que le théorème de Dirichlet sur les nombres premiers dans les progressions arithmétiques.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Le renversement serait un caractère additif ou une fonction multiplicative générale dépourvue de périodicité modulo N ; ceux-ci ne se factorisent pas par (Z/NZ)^× et n'ont donc pas les relations d'orthogonalité des caractères de Dirichlet.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Défini relativement à un module N et à valeurs dans C ; il faut distinguer caractère principal et caractère primitif (conducteur) et noter que toute fonction complètement multiplicative périodique n'est pas nécessairement un caractère sauf si elle s'annule sur les entiers non premiers à N et se factorise par le groupe des unités.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Proche de notions telles que caractère primitif, caractère réel ou complexe, et caractères de Hecke (ou de Grössen) ; des confusions peuvent survenir entre ces objets et d'autres coefficients multiplicatifs employés dans les séries L.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Un caractère de Dirichlet modulo N est une application multiplicative, N-périodique, des entiers vers les complexes induite par un homomorphisme sur (Z/NZ)^× et étendue par zéro sur les entiers non premiers à N, constituant une brique fondamentale des séries L de Dirichlet et de l'orthogonalité des classes de résidus.