## [Idéal](/fr/node/62883) Définition Un sous-ensemble I d'un anneau R qui est un sous-groupe additif de R et qui est stable par multiplication par des éléments arbitraires de R (r·x et x·r appartiennent à I pour r dans R et x dans I). Les idéaux codent la divisibilité, les congruences et la structure de factorisation de l'anneau ambiant et sont les noyaux d'homomorphismes d'anneaux. ## Principe Principe Un idéal regroupe des éléments indiscernables modulo une relation de divisibilité ou de congruence ; la stabilité par multiplication garantit la compatibilité avec l'action de l'anneau de sorte que la quotientation par l'idéal donne un anneau. ## Démonstration Démonstration Dans Z, pour tout entier n l'ensemble nZ = {..., -2n, -n, 0, n, 2n, ...} est un idéal : il est stable par addition et par multiplication par un entier quelconque, et Z/nZ est l'anneau quotient familier des classes de restes modulo n. ## Mauvaise application Mauvaise application Considérer tout sous-groupe additif d'un anneau comme un idéal sans vérifier la stabilité multiplicative, ou supposer que tout idéal est engendré par un seul élément dans un anneau non principal. ## Conséquence Conséquence Pour un idéal propre I, l'anneau quotient R/I est défini et les propriétés idéales (premier, maximal, primaire) se traduisent en propriétés algébriques de ce quotient ; les idéaux premiers correspondent à des quotients intègres et les idéaux maximaux à des corps. ## Inversion Inversion La notion inverse est un sous-ensemble S de R fermé pour la multiplication, utilisé pour localiser R ; au lieu d'identifier des éléments par addition on inverse des éléments et on agrandit l'anneau. ## Limite Limite Ici 'idéal' est employé au sens bilatère adapté aux anneaux commutatifs unitaires ; en anneau non commutatif il faut distinguer idéaux à gauche, à droite et bilatères. Un idéal n'est pas un sous-anneau sauf s'il contient 1, et les idéaux dans les anneaux à diviseurs de zéro se comportent différemment que dans les domaines intègres. ## Tension sémantique Tension sémantique Idéal versus sous-module : tout idéal de R est un R-sous-module de R, mais 'sous-module' est une notion modulaire plus vaste et n'implique pas l'absorption multiplicative ; idéal versus quotient : un idéal est une sous-structure, le quotient met l'accent sur la nouvelle structure d'anneau obtenue. ## Synthèse Synthèse Un idéal est un sous-groupe additif d'un anneau qui absorbe la multiplication par les éléments de l'anneau, codant ainsi congruences et divisibilités ; il permet de former des quotients et de classer le comportement algébrique tout en exigeant la prudence quant aux distinctions gauche/droite hors du cadre commutatif.