##  [Point Double](/fr/node/62844) 

 Définition

Un point singulier sur une courbe ou une surface où deux branches locales lisses se rencontrent transversalement, produisant un croisement simple de multiplicité deux ; modélisé localement par l'équation xy = 0 dans des coordonnées appropriées.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Intersection transversale de deux composantes locales lisses de multiplicité d'intersection deux : les directions tangentes sont distinctes et le type analytique local se décompose en deux branches lisses se croisant simplement.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Une courbe plane algébrique donnée localement par f(x,y)=xy possède deux branches lisses {x=0} et {y=0} se rencontrant à l'origine ; topologiquement le lien est constitué de deux arcs se croisant et la singularité se résout par un seul éclatement.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Qualifier un tacnode ou un cuspide de point double ; ceux-ci présentent une tangence d'ordre supérieur ou une seule branche se recroisant et ne sont pas des croisements transverses à deux branches.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Les calculs locaux (nombres d'intersection, contribution à l'invariant δ) et la description topologique sont simples ; en déformation on peut généralement lisser le point en deux points distincts voisins ou le résoudre par une opération élémentaire.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Si les deux branches locales partagent la même direction tangentielle (sont tangentes), la singularité n'est pas un point double mais une singularité de tangence supérieure telle qu'un tacnode.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux singularités isolées formées par deux branches transverses sur des courbes ou des hypersurfaces ; exclut les auto-intersections non isolées, les singularités de multiplicité supérieure et les singularités issues d'une seule branche (cuspidales).

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Concurrence avec 'tacnode' et 'cuspide' dans les descriptions informelles de «où deux choses se rejoignent» ; le point double insiste sur un croisement transverse de multiplicité deux, tandis que le tacnode et la cuspide insistent sur la tangence ou la dégénérescence d'une seule branche.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le point double est la singularité de croisement isolée la plus simple : deux branches locales lisses distinctes s'intersectent avec des directions tangentes distinctes, équivalentes localement à xy=0, et possèdent des invariants locaux et une résolution élémentaire prévisibles.