##  [Problème de Fermat–Torricelli](/fr/node/62789) 

 Définition

Problème d'optimisation consistant à trouver, dans le plan, un point qui minimise la somme des distances euclidiennes aux trois sommets d'un triangle donné ; ce point minimiseur, dit point de Fermat (ou de Torricelli), a des angles incidents de 120° lorsque tous les angles du triangle sont inférieurs à 120°.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Un principe variationnel géométrique : la configuration minimisante équilibre les tensions angulaires de sorte que les trois segments issus du point de Fermat se rencontrent par paires à 120°, sauf si un sommet obtus domine, auquel cas le minimiseur est ce sommet obtus.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour un triangle équilatéral le point de Fermat coïncide avec le centroïde et chaque segment de connexion forme 120° ; pour un triangle avec un angle de 130°, le point minimisant est le sommet à 130° car tout point intérieur augmente la distance totale.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Supposer que le point de Fermat est toujours intérieur ou toujours caractérisé par des angles de 120° ; négliger le cas spécial où un angle du triangle est ≥ 120° et que le minimiseur est ce sommet conduit à des résolutions erronées.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Résout un problème élémentaire d'optimisation de réseau et modélise des réseaux de connexion minimaux ; il conduit à des constructions de Steiner et fournit des solutions exactes pour la minimisation de longueur à trois terminaux.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Vu à l'inverse, localiser le point qui maximise la somme des distances donne des solutions triviales au bord (points éloignés), ce qui illustre que la minimisation impose un équilibre angulaire intérieur tandis que la maximisation est non bornée dans le plan.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Formulé pour trois points dans le plan euclidien ; les généralisations à un nombre plus grand de points (problème de Weber) ou à différentes métriques exigent des comportements d'existence/unicité différents et peuvent manquer de la caractérisation par 120°.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Conflit avec des centres tels que le centre circonscrit, le centre inscrit ou le centroïde qui optimisent des fonctions objectives distinctes (maximiser la distance minimale, égaliser les distances, ou minimiser la somme des coordonnées) ; le point de Fermat est distinct car il minimise la somme des distances, non le rayon ou le moment.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le problème de Fermat–Torricelli identifie un point qui équilibre trois demandes de distance concurrentes : soit un sommet avec angle ≥ 120° est optimal, soit un point intérieur de Fermat égalise les angles à 120°, fournissant le minimiseur unique de la distance totale pour trois sommets.