## [Théorème Egregium](/fr/node/62782) Définition Le théorème égregium de Gauss affirme que la courbure de Gauss d'une surface lisse est une invariante intrinsèque déterminée entièrement par la première forme fondamentale (la métrique induite sur la surface) ; en particulier la courbure de Gauss est préservée par les isométries locales (ondulations sans étirement). ## Principe Principe Courbure déterminée intrinsèquement : la courbure de Gauss dépend uniquement de quantités métriques calculables à partir de la première forme fondamentale et non de l'immersion de la surface dans l'espace ambiant. ## Démonstration Démonstration Un exemple classique est le cylindre : un plan et un cylindre circulaire droit sont localement isométriques (le cylindre s'obtient en pliant le plan) et ont tous deux une courbure de Gauss nulle. Le calcul de la courbure à partir de la première forme fondamentale donne la même valeur quelle que soit l'immersion. ## Mauvaise application Mauvaise application Supposer que d'autres mesures de courbure sont intrinsèques — par exemple la courbure moyenne est extrinsèque et change généralement sous isométrie — ou appliquer le théorème sans régularité suffisante (il requiert une différentiabilité appropriée de la métrique). ## Conséquence Conséquence Montre que plier une surface sans l'étirer ne peut pas modifier la courbure de Gauss, ce qui contraint les immersions isométriques possibles et sous-tend des phénomènes de rigidité et de flexibilité en théorie des surfaces ; conduit aussi à des résultats de classification intrinsèques des surfaces. ## Inversion Inversion L'inversion met en contraste notions intrinsèques et extrinsèques : tandis que la courbure de Gauss est invariante par isométrie locale, les courbures extrinsèques (courbure moyenne, courbure normale) varient en général avec l'immersion ; la réciproque souligne donc ce qui n'est pas préservé par le pliage. ## Limite Limite Nécessite une métrique riemannienne bidimensionnelle lisse (au moins C^2) sur la surface et des isométries locales ; ne s'applique pas aux métriques insuffisamment régulières, aux surfaces discrètes sans passage à la limite, ni à d'autres notions de courbure que la courbure de Gauss. ## Tension sémantique Tension sémantique Crée une tension avec les notions de courbure extrinsèque et avec des énoncés topologiques globaux : la courbure de Gauss est un invariant différentiel intrinsèque, mais la courbure intégrée se relie à la topologie via le théorème de Gauss‑Bonnet, reliant données différentielles intrinsèques et topologie globale. ## Synthèse Synthèse Le théorème égregium affirme que la courbure de Gauss est une invariante métrique intrinsèque déterminée par la première forme fondamentale ; il distingue les aspects d'un pliage qui sont purement internes à la métrique de surface de ceux qui dépendent de l'immersion.