##  [Théorème de Pick](/fr/node/62780) 

 Définition

Pour un polygone simple du plan dont les sommets sont des points du réseau entier, le théorème de Pick exprime l'aire Euclidienne A par A = I + B/2 − 1, où I est le nombre de points entiers à l'intérieur et B le nombre de points entiers sur le bord.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

L'aire d'un polygone à sommets entiers est déterminée combinatoirement par le comptage des points du réseau à l'intérieur et sur le bord : la géométrie se réduit au dénombrement sur le réseau pour des sommets à coordonnées entières.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Exemple : le triangle de sommets (0,0), (4,0) et (0,3) a une aire de 6 par la formule du déterminant. Les points du bord B sont au nombre de 8 (cinq sur la base, quatre sur le côté vertical, deux sur l'hypoténuse avec ajustement des sommets), ainsi Pick prédit I = A − B/2 + 1 = 6 − 4 + 1 = 3 points entiers intérieurs, ce qui se vérifie par comptage direct.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Appliquer la formule à des polygones aux sommets non entiers, à des polygones avec des trous ou à des polygones auto‑intersection ; le théorème de Pick échoue ou nécessite des modifications dans ces cas.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Fournit une méthode combinatoire exacte et simple pour calculer les aires de polygones à sommets entiers et pour déduire le nombre de points intérieurs à partir des données d'aire et de bord ; il soutient des approches discrètes et computationnelles de la géométrie du plan à réseau.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Étant donné A et B pour un polygone à réseau, Pick permet de déterminer I de façon unique ; toutefois la donnée de l'aire seule ne détermine pas la structure combinatoire du polygone. La formule est une égalité exacte plutôt qu'une implication sur la forme au-delà du dénombrement.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Nécessite un polygone simple (sans auto‑intersection) dont les sommets ont des coordonnées entières dans le plan ; les polygones avec trous, bords courbes ou sommets non entiers sont hors de portée.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

On le met souvent en relation avec des versions discrètes de théorèmes continus (par exemple des analogues du Gauss‑Bonnet ou de la caractéristique d'Euler) ; la tension vient de la proximité entre énoncés de comptage combinatoire et notions d'aire lisse, mais Pick est exact dans le cadre du réseau.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le théorème de Pick établit un lien exact entre dénombrement discret et aire continue pour les polygones à sommets entiers : l'aire égale le nombre de points intérieurs plus la moitié des points du bord moins un, offrant une formule compacte pour la géométrie en treillis.