## [Porisme de Poncelet](/fr/node/62778) Définition Enoncé poristique concernant des polygones tangents et inscrits : si l'on trouve un n-gone fermé simultanément inscrit dans une conique et circonscrit autour d'une autre, alors pour cette paire de coniques et ce n fixés la construction se referme pour tout choix de sommet initial sur la conique interne — il existe donc une famille à un paramètre de tels n-gones. ## Principe Principe La fermeture d'une construction itérative projective de tangence–inscription est indépendante du sommet de départ : l'existence d'une orbite périodique (n-gone fermé) pour l'application associée implique la périodicité pour tout point de départ sur la conique intérieure. ## Démonstration Démonstration Considérons deux coniques non dégénérées, l'une à l'intérieur de l'autre. Supposons qu'il existe un polygone à n côtés dont les sommets sont sur la conique extérieure et dont les côtés sont tangents à la conique intérieure. Le porisme de Poncelet affirme que, dès lors, en choisissant n'importe quel point sur la conique intérieure comme contact initial et en itérant la construction par tangentes on obtient un n-gone fermé. Dans le cas particulier de cercles concentriques ce phénomène se visualise aisément : si un n-gone fermé existe, la rotation du point de départ engendre une famille continue de n-gones fermés congruents. ## Mauvaise application Mauvaise application Conclure que le porisme de Poncelet garantit l'existence pour d'autres nombres de côtés n, pour des coniques dégénérées, ou qu'il s'étend à des paires de courbes quelconques ; le théorème exige deux coniques non dégénérées et un n fixé et ne s'étend pas à des courbes arbitraires. ## Conséquence Conséquence Quand le porisme s'applique on obtient une famille continue de n-gones fermés, ce qui impose de fortes contraintes algébriques et dynamiques sur la paire de coniques ; cela relie le résultat à la dynamique intégrable des billards et à des conditions algébriques (périodicité) sur les applications projectives associées. ## Inversion Inversion L'absence de la condition poristique signifie qu'il peut exister certains points de départ produisant des polygones fermés mais pas tous ; la réciproque formelle (si tous les points de départ donnent un polygone fermé alors il en existe au moins un) est triviale, mais le porisme affirme la direction non triviale selon laquelle un exemple entraîne l'universalité. ## Limite Limite S'applique spécifiquement à deux coniques non dégénérées dans le plan projectif et à un nombre de côtés n fixé ; exclut les courbes quelconques, les coniques singulières, les n variables et les configurations permettant la tangence sans arrangement inscrit/circonscrit. ## Tension sémantique Tension sémantique Lié de près, et parfois confondu, avec les orbites périodiques de billard dans les coniques : tous deux décrivent des orbites polygonales fermées, mais le porisme de Poncelet est une assertion projective sur des paires de coniques et des polygones tangents/inscrits plutôt qu'une loi de réflexion métrique propre au billard. ## Synthèse Synthèse Le porisme de Poncelet affirme que pour une paire donnée de coniques non dégénérées, l'existence d'un n-gone simultanément inscrit et circonscrit entraîne l'existence d'une famille à un paramètre de tels n-gones fermés : un résultat d'existence rigide qui relie la géométrie projective classique à des phénomènes dynamiques intégrables.