## [Droite de Simson](/fr/node/62776) Définition Pour un triangle donné et un point P situé sur son cercle circonscrit, les projections orthogonales (pieds) de P sur les trois côtés du triangle (ou leurs prolongements) sont alignées sur une même droite ; cette droite commune s'appelle la droite de Simson de P par rapport au triangle. ## Principe Principe Les points pédaux d'un point situé sur le cercle circonscrit d'un triangle sont collinéaires : la projection perpendiculaire d'un tel point sur les côtés produit trois pieds alignés. ## Démonstration Démonstration Considérons le triangle ABC et un point P sur son cercle circonscrit. Construisez les perpendiculaires depuis P sur AB, BC et CA et notez les pieds D, E et F. La propriété de Simson affirme que D, E et F sont alignés. On peut vérifier concrètement en construisant le triangle, son cercle circonscrit et en calculant les coordonnées des pieds pour constater leur colinéarité. ## Mauvaise application Mauvaise application Supposer la colinéarité des pieds lorsque P n'est pas sur le cercle circonscrit ; pour un point générique extérieur ou intérieur hors du cercle, les trois pieds ne sont généralement pas alignés. ## Conséquence Conséquence Lorsque la propriété s'applique, la droite de Simson fournit un lieu linéaire associé à P utile pour des constructions et pour démontrer d'autres colinéarités et concurrences en géométrie du triangle ; son enveloppe et ses intersections avec des centres triangulaires portent des correspondances classiques. ## Inversion Inversion La réciproque est vraie : si les trois pieds des perpendiculaires issues d'un point P sur les côtés (prolongés) du triangle ABC sont alignés, alors P appartient au cercle circonscrit de ABC ; la propriété caractérise donc les points circonscrits. ## Limite Limite S'applique uniquement aux triangles plans non dégénérés et aux points P situés sur le cercle circonscrit ; les projections sur les prolongements des côtés sont autorisées, mais les cas dégénérés (triangle dégénéré ou projections coïncidant) nécessitent un traitement particulier. ## Tension sémantique Tension sémantique La droite de Simson est parfois confondue avec d'autres droites pédales ou droites de Steiner ; elle se distingue par l'hypothèse centrale que P est sur le cercle circonscrit. ## Synthèse Synthèse La droite de Simson est le lieu en ligne droite formé par les trois pieds des perpendiculaires issues d'un point sur le cercle circonscrit d'un triangle ; elle caractérise ces points par la colinéarité de leurs points pédaux et sert d'outil compact en géométrie classique.