##  [Théorème du Cercle des Neuf Points](/fr/node/62772) 

 Définition

Le théorème selon lequel neuf points d'un triangle sont concycliques : les milieux des trois côtés, les pieds des trois hauteurs et les milieux des segments joignant l'orthocentre aux sommets. Ce cercle est appelé cercle des neuf points ; son centre N est le milieu du segment orthocentre–circumcentre et son rayon vaut la moitié du rayon du cercle circonscrit.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Fait organisateur sur la structure du triangle : certaines constructions naturelles de milieux et de pieds d'hauteurs appartiennent à un même cercle dont le centre et le rayon sont liés simplement aux centres classiques (circumcentre et orthocentre), révélant symétries et rapports d'échelle internes au triangle.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Dans le triangle ABC de circumcentre O et d'orthocentre H, le milieu de AH, le milieu de BC et le pied de la hauteur issue de A sont trois des neuf points ; des congruences et similitudes classiques montrent que ces points et les analogues pour B et C sont concycliques. Algébriquement on montre que le centre des neuf points N = (H+O)/2 et que le rayon vaut R/2 si R est le rayon du cercle circonscrit.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Supposer que le cercle des neuf points passe par les sommets originels, ou le confondre avec le cercle circonscrit ; appliquer la construction euclidienne du neuf-points dans un plan non euclidien sans adapter les notions de distance et de perpendicularité est incorrect.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Donne de nombreuses égalités et simplifications dérivées : milieux et pieds sont concycliques, la localisation de N facilite les constructions, et des relations comme rayon = R/2 permettent de transférer l'information du cercle circonscrit au cercle des neuf points pour d'autres déductions métriques.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

La réciproque — que des points appartenant au cercle des neuf points doivent être des milieux ou des pieds d'hauteurs — n'est pas automatique sans vérifier les relations du triangle. Une structure contrastée est le cercle circonscrit, qui passe par les sommets plutôt que par ces neuf points spécifiques.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Valide en géométrie euclidienne plane pour les triangles non dégénérés ; des triangles dégénérés (sommets colinéaires) annulent la construction perpendiculaire et la notion de rayon circonscrit. Le théorème exige les définitions euclidiennes usuelles de milieu et de pied de hauteur.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre le cercle des neuf points et le cercle circonscrit ou l'incircle : chacun sélectionne un ensemble canonique différent de points (milieux/pieds versus sommets versus points de contact) et conduit à propriétés invariantes et usages distincts.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le théorème du cercle des neuf points rassemble des constructions de milieux et de pieds d'hauteurs en un seul lieu circulaire concis : neuf points canoniques et faciles à construire sont concycliques, et le centre et le rayon du cercle sont des fonctions linéaires et de mise à l'échelle simples du circumcentre et du rayon circonscrit, produisant des conséquences métriques et synthétiques compactes.