##  [Droite D'Euler](/fr/node/62770) 

 Définition

Principe de colinéarité dans un triangle non dégénéré : le centroïde (G), le centre du cercle circonscrit (O), l'orthocentre (H) et le centre du cercle des neuf points (N) sont alignés sur une même droite. G divise HO selon HG:GO = 2:1 et N est le milieu de HO.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Relation organisatrice entre centres classiques d'un triangle : centre de masse, centre du cercle circonscrit et orthocentre sont alignés et leurs rapports et milieux sont déterminés par des relations métriques du triangle.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour un triangle de sommets (0,0),(b,0),(c_x,c_y) on calcule O par les médiatrices, H comme intersection des hauteurs et G comme moyenne des coordonnées des sommets ; l'algèbre montre que O, G, H sont colinéaires et que H = 3G − 2O (autrement dit HG = 2·GO). Le centre N des neuf points vaut (H+O)/2 et appartient à la même droite.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Présumer que les centres sont distincts et non coïncidents pour tout triangle ; dans le triangle équilatéral O, G, H, N coïncident et la droite d'Euler n'est pas distincte en tant que ligne mais l'assertion de colinéarité demeure sous forme de coïncidence. Appliquer le concept d'Euler de la géométrie euclidienne à des géométries non euclidiennes sans adapter les définitions est également incorrect.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Fournit une contrainte linéaire unificatrice entre centres, utilisée pour transférer des informations métriques, simplifie les arguments coordonnés et synthétiques sur les centres, et permet des constructions telles que localiser N comme milieu de HO ou déterminer O à partir de H et G via des rapports.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

La négation stricte affirmerait la non-colinéarité de ces centres ; le contraste naturel concerne des géométries ou des centres généralisés où les centres analogues ne s'alignent pas. Un autre contraste est l'ensemble des autres centres de triangle (incentre, excentres) qui n'appartiennent généralement pas à la droite d'Euler.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Valable pour les triangles non dégénérés en géométrie euclidienne plane ; dans des configurations dégénérées (sommets colinéaires) les notions de circumcentre ou d'orthocentre peuvent être indéfinies. Le théorème est euclidien et requiert les définitions usuelles de centroïde, circumcentre, orthocentre et centre des neuf points.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre les relations de la droite d'Euler et les constructions impliquant l'incentre ou d'autres centres spécialisés : certains centres classiques sont reliés par la droite d'Euler tandis que d'autres demandent des descriptions de lieu différentes ou des conditions de concurrence.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La droite d'Euler est l'axe linéaire qui relie plusieurs centres fondamentaux du triangle : centroïde, circumcentre, orthocentre et centre des neuf points s'alignent selon des rapports et milieux précis, offrant un cadre linéaire concis pour de nombreuses identités et constructions relatives aux centres.