##  [Inégalité Triangulaire](/fr/node/62766) 

 Définition

Énoncé en théorie des métriques affirmant que, pour trois points x, y, z, la distance entre x et z n'excède pas la somme des distances x–y et y–z ; symboliquement d(x,z) ≤ d(x,y)+d(y,z).

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Règle organisatrice selon laquelle les distances sont sous-additives : passer par un point intermédiaire ne peut pas réduire la distance au-dessous de la distance directe.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Dans le plan euclidien, prendre A=(0,0), B=(1,0), C=(1,1). On a AB=1, BC=1, AC=√2 ; on vérifie AC ≤ AB+BC puisque √2 ≤ 2. Dans un espace vectoriel normé, ||u+v|| ≤ ||u||+||v|| est l'équivalent de l'inégalité triangulaire pour la métrique induite.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Appliquer l'inégalité triangulaire à des distances orientées ou signées sans tenir compte de l'orientation, ou présumer qu'elle vaut pour des scores de similarité ou de dissimilarité qui ne sont pas des métriques.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Elle garantit que les segments géodésiques sont des chemins de longueur minimale, soutient les arguments de convergence en analyse et rend les topologies issues de normes bien comportées.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Nier l'inégalité (d(x,z) ≥ d(x,y)+d(y,z)) est faux en général ; contraste utile : la condition ultramétrique où d(x,z) ≤ max{d(x,y),d(y,z)} est plus forte et remplace la borne additive.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux métriques et pseudométriques (non négatives, symétriques, satisfaisant l'inégalité triangulaire). Elle ne s'applique pas aux relations appelées « distances » qui manquent d'un axiome métrique ni aux mesures pouvant prendre des valeurs négatives.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre l'inégalité triangulaire standard (borne additive) et la propriété ultramétrique (borne par le maximum) : certaines intuitions ou résultats diffèrent selon le cas.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'inégalité triangulaire est l'axiome de sous-additivité des espaces métriques et normés : elle empêche l'existence de raccourcis violant la notion de distance, fonde la géométrie des chemins minimaux et entraîne de nombreuses conséquences analytiques et topologiques.