## [Fonctionnelle de Minkowski](/fr/node/62764) Définition Étant donné un ensemble convexe K contenant l'origine, le fonctionnel de Minkowski (jauge) p_K(x) est l'infimum des λ>0 tels que x∈λK ; il mesure la dilatation scalaire nécessaire pour inclure un vecteur dans K et généralise la notion de norme lorsque K est équilibré et absorbant. ## Principe Principe p_K est homogène positive de degré un et sous-additive (donc une semi-norme) précisément lorsque K est convexe et que 0 est un point intérieur ; la symétrie de K fait de p_K une norme. Le fonctionnel encode la géométrie de K en traduisant l'appartenance à K par l'inégalité scalaire p_K(x)≤1. ## Démonstration Démonstration Si K est la boule euclidienne unité alors p_K est la norme euclidienne. Pour un ensemble convexe asymétrique K la jauge est une « norme » asymétrique donnant des valeurs différentes selon le sens ; pour un polytope p_K(x) se calcule par programmation linéaire comme le scalaire minimal permettant d'exprimer x comme combinaison convexe de sommets mise à l'échelle par λ. ## Mauvaise application Mauvaise application Supposer que p_K est une norme sans vérifier que K est symétrique par rapport à l'origine ou que 0 appartient à l'intérieur ; appliquer l'inégalité triangulaire quand K est non convexe ou non absorbant, ce qui invalide la sous-additivité ou la finitude. ## Conséquence Conséquence Permet d'induire naturellement des topologies et des semi-normes à partir d'ensembles convexes, de comparer des corps via p_K, et de se relier aux objets duaux par les ensembles polaires et les fonctions de support ; central en analyse convexe et représentations fonctionnelles de la géométrie. ## Inversion Inversion La fonction de support est duale en esprit : tandis que p_K mesure combien il faut dilater K pour contenir x, la fonction de support mesure les projections maximales. La polarité échange fonctionnels de Minkowski et fonctions de support entre corps primal et dual en inversant les relations d'inclusion. ## Limite Limite Bien comporté seulement si K est convexe, absorbant (0 intérieur) et fermé ; si 0∉int K, p_K peut être infini pour certaines directions hors du cône engendré par K. Pour K non convexe la fonction peut ne pas être sous-additive ni continue. ## Tension sémantique Tension sémantique Souvent confondu avec des normes ou des fonctions de support ; contrairement à une norme le fonctionnel de Minkowski peut être asymétrique et prendre des valeurs infinies sauf si K satisfait aux hypothèses d'intériorité et de convexité. ## Synthèse Synthèse Le fonctionnel de Minkowski est la jauge scalaire positivement homogène induite par un ensemble convexe qui mesure la dilatation nécessaire pour inclure un vecteur ; sous les hypothèses usuelles de convexité et d'intériorité il devient une semi-norme ou une norme et relie la géométrie des ensembles à des structures analytiques comme la dualité et la topologie.