## [Portée de Federer (Reach)](/fr/node/62755) Définition Pour un sous-ensemble fermé A de l'espace euclidien, la portée (reach) est le sup des r≥0 tels que tout point à distance strictement inférieure à r de A admet un unique point le plus proche dans A ; équivalemment le rayon du plus grand voisinage tubulaire sur lequel la projection sur A est bien définie et à valeur unique. ## Principe Principe Quantifie la régularité extrinsèque en excluant les approches proches de la self-intersection et les grandes courbures : la portée contrôle la courbure, la distance à l'axe médial et garantit un voisinage tubulaire où la projection sur l'ensemble est une rétraction Lipschitz (et lisse pour des ensembles lisses). ## Démonstration Démonstration Pour une courbe ou hypersurface plongée et lisse à courbure bornée, la portée est au moins l'inverse de la courbure principale maximale ; pour une sphère de rayon R plongée dans l'espace euclidien la portée vaut R (la distance à l'axe médial étant le centre). ## Mauvaise application Mauvaise application Utiliser la proximité au sens d'Hausdorff ou la régularité C^1 comme substitut d'une portée positive — une courbe C^1 peut avoir une portée arbitrairement petite à cause d'approches presque tangentielles — ou confondre portée avec rayons intrinsèques d'injectivité ou de convexité qui sont définis différemment. ## Conséquence Conséquence Une portée positive donne un voisinage tubulaire diffeomorphe au fibré normal, une projection orthogonale bien définie, une stabilité sous perturbations à petite échelle, et permet des mesures de courbure et l'inférence géométrique ; de nombreux résultats de reconstruction géométrique exigent une borne inférieure positive de la portée. ## Inversion Inversion L'axe médial (ensemble des points avec plusieurs voisins les plus proches) est le complément dans le voisinage tubulaire du domaine d'unicité ; en inversant la notion on repère où la projection échoue ou où les contraintes de courbure sont violées. ## Limite Limite Notion extrinsèque euclidienne s'appliquant à des sous-ensembles de l'espace euclidien (ou à des variétés riemanniennes via plongement isométrique) ; elle exige un contrôle global de la géométrie d'immersion et ne s'applique pas directement aux variétés riemanniennes abstraites sans référer à un espace ambiant euclidien. ## Tension sémantique Tension sémantique Souvent comparée aux rayons d'injectivité et de convexité pour des variétés plongées : la portée est extrinsèque et concerne l'unicité du plus proche point, tandis que les rayons d'injectivité/convexité sont notions géodésiques intrinsèques ; les confondre entraîne des erreurs en reconstruction ou analyse de voisinages. ## Synthèse Synthèse La portée est le plus grand rayon d'un voisinage tubulaire autour d'un sous-ensemble euclidien sur lequel l'application du point le plus proche est à valeur unique : une mesure extrinsèque de régularité de frontière liant bornes de courbure et évitement de l'axe médial à l'existence de projections lisses.