## [Courbure Sectionnelle](/fr/node/62741) Définition Sur une variété riemannienne, la courbure sectionnelle K(σ) d'un plan tangent bidimensionnel σ est le nombre obtenu en évaluant le tenseur de courbure de Riemann sur une base orthonormée de σ et en normalisant ; elle mesure la courbure gaussienne de la surface formée par les géodésiques tangentes à σ. ## Principe Principe La courbure sectionnelle extrait la courbure associée à un plan tangent de dimension deux et est déterminée algébriquement par le tenseur de courbure de Riemann ; elle contrôle la manière dont les géodésiques initialement tangentes au plan se dispersent ou se focalisent. ## Démonstration Démonstration Sur la sphère ronde de rayon r, chaque plan de dimension deux a une courbure sectionnelle constante K = 1/r^2 ; les triangles géodésiques sur la sphère ont une somme des angles supérieure à π, en accord avec une courbure sectionnelle positive. ## Mauvaise application Mauvaise application Supposer que connaître la courbure sectionnelle pour un nombre fini de plans suffit à déterminer complètement le tenseur de courbure en dimensions supérieures à trois est faux ; l'information directionnelle peut ne pas permettre de reconstruire toutes les composantes du tenseur de Riemann. ## Conséquence Conséquence Le signe et les bornes de la courbure sectionnelle impliquent des résultats géométriques et topologiques forts (théorèmes de comparaison, contrôle des points conjugués, phénomènes de rigidité) ; une positivité ou négativité uniforme a des conséquences globales majeures. ## Inversion Inversion La platitude est l'inversion : une courbure sectionnelle nulle pour tout plan caractérise les variétés localement isométriques à l'espace euclidien, inversant ainsi les phénomènes de focalisation/défocalisation des géodésiques. ## Limite Limite Définie seulement pour des plans bidimensionnels non dégénérés de l'espace tangent d'une variété riemannienne ou pseudo-riemannienne ; inapplicable sans métrique, elle échoue pour des métriques dégénérées ou singulières ; en signature lorentzienne on distingue courbures sectionnelles timelike, spacelike et null. ## Tension sémantique Tension sémantique Il existe une tension entre la courbure sectionnelle comme invariant directionnel fin et les courbures de Ricci ou scalaire qui moyennent sur les directions ; les résultats fondés sur des bornes sectionnelles sont plus forts mais plus difficiles à vérifier à partir d'invariants plus grossiers. ## Synthèse Synthèse La courbure sectionnelle est la courbure gaussienne directionnelle attachée à un plan tangent, calculée à partir du tenseur de Riemann ; elle gouverne le comportement géodésique local et alimente des notions moyennées (Ricci, scalaire) tout en conservant l'information directionnelle la plus détaillée.