##  [Opération de Basculement d'Arête](/fr/node/62731) 

 Définition

Mouvement combinatoire local sur une triangulation qui remplace la diagonale commune d'un quadrilatère convexe formé par deux triangles adjacents par l'autre diagonale, produisant une nouvelle triangulation du même ensemble de sommets et du même type de connectivité.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Le basculement d'arête est une transformation bistellaire préservant la topologie : il modifie l'adjacence et l'incidence des triangles en alternant quelle paire de sommets est reliée à l'intérieur d'une cellule convexe à quatre sommets, utilisé pour explorer l'espace des triangulations ou appliquer des critères locaux (par ex. Delaunay).

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Étant donné deux triangles adjacents partageant la diagonale AB dans une triangulation plane dont l'union est un quadrilatère convexe ABCD, effectuer un basculement remplace AB par CD ; des basculements répétés peuvent convertir une triangulation arbitraire en triangulation de Delaunay en résolvant les arêtes non-Delaunay.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Tenter de basculer une arête quand l'union des deux triangles incidentes est non convexe ou quand le basculement violerait les contraintes de variété ou de bord (créant des éléments inversés sur des surfaces), ou supposer que les basculements préservent la qualité métrique sans vérifier la forme des éléments.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Les basculements d'arête mettent en relation les triangulations via le graphe des basculements, fournissent un outil local pour optimiser les angles ou conditions de cercle circonscrit, et permettent des algorithmes d'incrémentation Delaunay, d'amélioration de maillage et de reconfiguration topologique tout en préservant l'ensemble des sommets.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

L'inverse d'un basculement est un autre basculement sur la nouvelle diagonale, donc les suites de basculements sont réversibles ; toutefois inverser un chemin de basculements peut ne pas restaurer des qualités géométriques intermédiaires si les positions des sommets ont été modifiées entre-temps.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux triangulations où deux triangles partagent une diagonale et dont l'union est convexe dans l'immersion ; sont exclus les basculements à travers des quadrilatères non convexes, les arêtes de bord contraintes, ou les maillages où la topologie (contraintes de valence) interdit le remplacement local de la diagonale.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Distinguer un basculement d'arête (échange local de diagonale combinatoire) d'une nouvelle triangulation globale ou d'opérations topologiques comme l'effondrement/séparation d'arête : le basculement conserve l'ensemble des sommets et la topologie, tandis que l'effondrement/séparation modifient le nombre de sommets ou la connectivité de façon plus radicale.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'opération de basculement d'arête est le mouvement local minimal et réversible sur les triangulations : lorsque deux triangles adjacents forment un quadrilatère convexe, permuter la diagonale modifie l'adjacence et la qualité locale, permettant de parcourir l'espace des triangulations et d'imposer des conditions d'optimalité locales telles que la propriété de Delaunay.