##  [Ensemble Convexe](/fr/node/62707) 

 Définition

Un sous-ensemble C d'un espace affine ou d'un espace vectoriel tel que, pour toute paire de points x,y dans C, tout le segment {(1 - t)x + t y : t ∈ [0,1]} soit contenu dans C.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Fermeture par combinaisons convexes : si x et y appartiennent à l'ensemble alors toute combinaison convexe λx + (1−λ)y avec λ dans [0,1] appartient aussi à l'ensemble ; autrement dit, l'ensemble contient le segment droit reliant deux de ses points.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

En espace euclidien, exemples typiques : boules euclidiennes, simplexes, polyèdres définis comme intersections de demi-espaces fermés, et l'enveloppe convexe d'un ensemble fini de points. Par exemple, l'enveloppe convexe de trois points non colinéaires de R2 est le triangle formé par ces points.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Qualifier de convexe une région étoilée ou simplement connexe simplement parce qu'elle contient des segments partant d'un point intérieur vers d'autres points ; ou confondre convexité géodésique sur une variété courbe avec la convexité ordinaire sans précision.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Correctement utilisée, la convexité entraîne des résultats structuraux : un minimum local d'une fonction convexe est global, les théorèmes de séparation s'appliquent en dimension finie, des descriptions par points extrêmes existent, et les problèmes d'optimisation bénéficient d'unicité et de stabilité.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Un ensemble non convexe ne contient pas certains segments entre ses points ; l'union de deux boules convexes disjointes illustre le comportement inverse (l'union n'est pas convexe).

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Se rapporte à des sous-ensembles d'espaces affines ou vectoriels munis de leur structure linéaire ; n'inclut pas a priori la convexité géodésique sur les variétés riemanniennes ou la convexité relative à des structures non linéaires, sauf mention explicite.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Termes proches : fonction convexe, enveloppe convexe et convexité géodésique ; tous partagent l'idée d'absence de creux mais diffèrent selon qu'il s'agit d'un ensemble, d'une fonction ou d'une dépendance à un système de trajectoires.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Un ensemble convexe est un ensemble d'un espace affine ou vectoriel stable par combinaisons convexes : il contient le segment droit entre ses points, propriété fondamentale pour la séparation, les points extrêmes et l'optimisation linéaire.