## [Plan Hyperbolique](/fr/node/62701) Définition Le plan hyperbolique est la variété riemannienne bidimensionnelle complète (ou modèle métrique) de courbure constante négative, réalisable par des modèles tels que le disque de Poincaré, le demi-plan supérieur muni de la métrique hyperbolique ou le modèle de Klein. ## Principe Principe Le principe organisateur est la courbure négative : les géodésiques divergent de façon exponentielle, la somme des angles d'un triangle est inférieure à π, et l'espace admet un groupe riche d'isométries agissant transitivement avec stabilisateurs isomorphes à des rotations. ## Démonstration Démonstration Exemple : le demi-plan supérieur H = {z ∈ C : Im z > 0} avec métrique ds^2 = (dx^2 + dy^2)/y^2 a une courbure constante −1 ; les géodésiques sont des demi-cercles orthogonaux à l'axe réel ou des droites verticales, et l'aire des triangles idéaux est constante. ## Mauvaise application Mauvaise application Confondre l'intuition euclidienne (les parallèles se rencontrent à l'infini ou se comportent linéairement) avec le comportement hyperbolique — par exemple s'attendre à des sommes d'angles euclidiennes ou à une croissance linéaire des aires — conduit à des raisonnements incorrects. ## Conséquence Conséquence L'utilisation correcte de la géométrie hyperbolique conduit à des résultats de rigidité et de classification (par ex. actions de groupes discrets, pavages), à une croissance rapide des volumes et à des structures particulières à la bordure à l'infini utiles en théorie géométrique des groupes. ## Inversion Inversion La réversion est la sphère de courbure positive constante, où les géodésiques se reconvergent, la somme des angles des triangles dépasse π, et la topologie globale impose des géodésiques fermées et des phénomènes de finitude absents en hyperbolique. ## Limite Limite Portée : variétés riemanniennes simplement connexes bidimensionnelles et complètes de courbure négative constante (modèles et surfaces de genre ≥ 2 munies de métriques hyperboliques) ; exclut les surfaces à courbure négative variable sans constance et les géométries euclidienne ou sphérique. ## Tension sémantique Tension sémantique Tension entre modèles (disque de Poincaré, demi‑plan supérieur, Klein) dont les propriétés métriques, conformes et projectives diffèrent ; choisir un modèle inadapté pour un calcul peut masquer des isométries ou propriétés conformes. ## Synthèse Synthèse Le plan hyperbolique est la géométrie bidimensionnelle négativement courbée par excellence : un espace métrique complet de courbure constante négative dont les caractéristiques métriques et topologiques (déficit angulaire, divergence exponentielle, bord à l'infini) fondent les phénomènes géométriques et dynamiques hyperboliques.