##  [Invariant d'Eta](/fr/node/62676) 

 Définition

Un invariant spectral d'un opérateur elliptique auto-adjoint défini comme la valeur en zéro de sa fonction eta η(s) = ∑_{λ≠0} signe(λ) |λ|^{-s} après continuation analytique ; il mesure l'asymétrie spectrale (déséquilibre entre valeurs propres positives et négatives) et fournit des termes de correction aux bords dans des formules d'indice.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Construire la fonction eta à partir de la somme signée des puissances des valeurs propres non nulles, prolonger analytiquement η(s) en s = 0 et définir η(0) (souvent modulo entiers lorsqu'il existe une ambiguïté). L'invariant capture une asymétrie spectrale globale non visible aux invariants basés sur les valeurs absolues et dépend des conditions aux bords.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour un opérateur de Dirac auto-adjoint sur une variété fermée de dimension impaire, calculer η(s) à partir du spectre discret et l'évaluer en s = 0 pour obtenir un nombre réel ; pour des problèmes tordus unidimensionnels simples, l'invariant eta peut être fractionnaire et varie continûment avec le flux spectral.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Prendre l'invariant eta pour toujours entier ou local (c'est typiquement une quantité spectrale réelle et analytique) ou ignorer la contribution des valeurs propres nulles conduit à des erreurs ; ne pas tenir compte du choix de coupure spectrale ou de régularisation modifie sa valeur par des entiers.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Les invariants eta apparaissent comme termes de correction dans le théorème d'Atiyah–Patodi–Singer pour les variétés à bord, déterminent des phases dans les anomalies de lignes de déterminants et quantifient l'asymétrie spectrale pertinente en analyse géométrique et en théorie quantique des champs.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

La réciproque considère l'invariant spectral non signé (comme le déterminant régularisé par zêta construit à partir de |λ|), qui ignore l'information de signe ; alors que eta enregistre le déséquilibre signé, le déterminant non signé ne retient que la magnitude — l'inversion perd l'information d'asymétrie.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Défini pour des opérateurs elliptiques auto-adjoints avec spectre discret après régularisation appropriée ; sensible aux conditions aux bords et aux choix de normalisation, et des complications apparaissent pour des opérateurs à spectre continu ou aux domaines mal contrôlés.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Étroitement lié à la phase des déterminants régularisés par zêta et au flux spectral : le flux spectral modifie souvent eta par des entiers, créant une tension entre données d'indice entières et asymétrie spectrale à valeurs réelles.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'invariant eta est la somme spectrale signée prolongée analytiquement en zéro qui quantifie le déséquilibre entre valeurs propres positives et négatives d'un opérateur elliptique auto-adjoint ; il fournit des termes de correction spectrale subtils essentiels en théorie de l'indice avec bord et dans le calcul d'anomalies.