##  [Flux Spectral](/fr/node/62672) 

 Définition

Un invariant à valeurs entières d'une famille à un paramètre continue d'opérateurs de Fredholm auto-adjoints qui compte, avec signe et multiplicité, le nombre net de valeurs propres traversant zéro lorsque le paramètre varie ; il relie les données spectrales aux indices topologiques.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Les traversées de valeurs propres par zéro sont discrètes pour des familles d'opérateurs de Fredholm auto-adjoints ; en attribuant un comptage orienté aux traversées on obtient un entier homotopie-invariant qui, par suspension, égale l'indice d'un opérateur associé sur un cylindre.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour un chemin lisse {A_t}_{t∈[0,1]} d'opérateurs bornés auto-adjoints de Fredholm, on suit les valeurs propres λ_i(t) : le flux spectral est la somme sur les instants de traversée t_j des signes de (d/dt)λ_i(t_j) comptés avec multiplicité. Pour des familles d'opérateurs de Dirac D_t = D + tK sur une variété fermée, le flux spectral coïncide avec l'indice de ∂_t + D_t sur M×[0,1].

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Compter les traversées sans orientation ou ignorer les dégénérescences (traversées multiples simultanées) donne des totaux incorrects ; appliquer la notion à des opérateurs non-Fredholm ou à des familles où le spectre essentiel traverse zéro échoue, car les traversées peuvent ne plus être discrètes ou bien définies.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Le flux spectral relie l'analyse à la topologie : il calcule des différences de projections spectrales, intervient dans des preuves de théorèmes d'indice pour des familles, se relie à l'indice de Maslov en géométrie symplectique et mesure les changements de phase spectrale sous déformations continues.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Inversement, on obtient le flux spectral négatif en parcourant le paramètre dans le sens opposé ; conceptuellement, se concentrer sur des traversées d'un niveau non nul ou sur la création/annihilation de valeurs propres plutôt que sur les traversées en zéro modifie fondamentalement l'invariant.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Défini pour des chemins continus d'opérateurs de Fredholm auto-adjoints (bornés ou, pour les non bornés, contrôlés par la topologie du graphe) ; non défini en général pour des familles non auto-adjointes, pour des opérateurs non bornés sans contrôle de domaine, ni lorsque le spectre essentiel traverse zéro.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Proche mais distinct de l'indice de Fredholm : dans de nombreuses constructions le flux spectral coïncide avec l'indice d'un opérateur de suspension, mais le flux spectral dépend du chemin alors que l'indice est associé à un opérateur unique ; la tension survient en distinguant invariance de chemin et invariants des extrémités.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le flux spectral est le décompte orienté des changements de signe des valeurs propres traversant zéro le long d'un chemin continu d'opérateurs auto-adjoints de Fredholm ; il transforme le mouvement spectral analytique en un entier qui encode des informations topologiques et d'indice sur la famille.